8.1. Определение перпендикулярности плоскостей

Определения и обозначения

Двугранный угол — фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой. Общую прямую называют ребром, а полуплоскости — гранями. Понятие помогает описывать взаимное расположение плоскостей и углы, возникающие при их пересечении.

Линейный угол двугранного угла — угол между лучами, проведёнными из одной точки ребра перпендикулярно этому ребру, по одному лучу в каждой грани. Такие лучи задают направление каждой грани поперёк ребра. Это позволяет измерять двугранный угол обычным плоским углом.

Угол между пересекающимися плоскостями — линейный угол одного из образованных ими двугранных углов, выбранный не больше 90°. Поскольку при пересечении возникают углы разных величин, для пары плоскостей выбирают меньший. Это определение даёт однозначное значение угла между плоскостями.

Перпендикулярные плоскости — пересекающиеся плоскости, угол между которыми равен 90°. Их обозначают, например, α ⟂ β. Определение сводит проверку перпендикулярности к измерению угла между плоскостями.

Как это устроено

Если две различные плоскости пересекаются, все их общие точки лежат на одной прямой: это линия пересечения, или общее ребро. Каждая плоскость по одну и другую сторону этой прямой задаёт полуплоскости, а пары полуплоскостей образуют двугранные углы. Поэтому пересечение плоскостей не создаёт только один угол: вокруг общего ребра располагаются несколько двугранных углов.

Чтобы построить линейный угол, на ребре выбирают точку и в каждой грани проводят из неё луч, перпендикулярный ребру. Лучи должны лежать именно в соответствующих гранях и начинаться в одной точке. Полученный ими плоский угол показывает, насколько грани раскрыты друг относительно друга поперёк ребра.

Выбор точки на ребре не меняет величину линейного угла. Перпендикулярные ребру направления в каждой плоскости при переносе вдоль прямой сохраняют взаимный наклон, поэтому угол между соответствующими лучами остаётся тем же. Благодаря этому двугранный угол можно измерить в удобной точке, не привязываясь к конкретному месту на ребре.

Связь с обычным сечением помогает представить измерение наглядно. Возьмём плоскость, перпендикулярную линии пересечения исходных плоскостей: их следы в ней будут прямыми, а угол между этими следами совпадёт с линейным углом. Иными словами, сложное пространственное расположение измеряют в плоском сечении, которое пересекает обе плоскости поперёк их общего ребра.

У пересекающихся плоскостей есть острые и тупые двугранные углы, но углом между плоскостями называют меньший из них. Поэтому это значение находится от 0° до 90° включительно. Если в перпендикулярном сечении следы плоскостей образуют прямой угол, то и угол между плоскостями прямой; по определению плоскости перпендикулярны.

Взаимное расположение плоскостей и угол между ними

В таблице учитывается именно меньший угол между плоскостями, поэтому тупой двугранный угол не записывают как угол между плоскостями. Для ответа о перпендикулярности достаточно проверить, равен ли этот угол 90°. Параллельные плоскости не имеют общего ребра, по которому можно построить линейный угол.

Разбор задач

1. Линейный угол равен 90°

Даны две пересекающиеся плоскости, а их линейный угол равен 90°. Нужно определить взаимное расположение плоскостей. Поскольку линейный угол измеряет двугранный угол, его величина задаёт угол между плоскостями в этой задаче. Используем определение перпендикулярных плоскостей.

1. Устанавливаем, что плоскости пересекаются, значит, между ними определён угол.
2. Сравниваем его величину с 90°: линейный угол уже равен 90°.
3. По определению делаем вывод о перпендикулярности плоскостей.

Ответ: плоскости перпендикулярны.

2. Лучи образуют угол 48°

Плоскости α и β пересекаются по прямой l. Из точки O на l в каждой плоскости проведены лучи, перпендикулярные l; угол между лучами равен 48°. Требуется найти угол между плоскостями. Условия построения лучей сразу указывают, что они задают линейный угол двугранного угла.

1. Проверяем построение: лучи выходят из одной точки ребра l и лежат в разных плоскостях.
2. Оба луча перпендикулярны l, следовательно, угол 48° является линейным.
3. Линейный угол измеряет двугранный угол; 48° — острый угол, поэтому он и является углом между плоскостями.

Ответ: 48°.

3. Прямой угол между следами

Плоскости α и β пересекаются по прямой l. В плоскости, перпендикулярной l, их следы образуют прямой угол. Нужно решить, перпендикулярны ли α и β, и обосновать вывод. Здесь дано сечение, по которому определяется угол между исходными плоскостями.

1. Вспоминаем, что следы α и β в плоскости, перпендикулярной l, образуют угол между плоскостями.
2. По условию этот угол равен 90°.
3. Применяем определение: пересекающиеся плоскости с углом 90° перпендикулярны.

Ответ: да, α ⟂ β, поскольку угол между ними равен 90°.

Типичные ошибки

Считать плоскости перпендикулярными только потому, что они пересекаются, — ошибка: пересечение возможно под разными углами. Её допускают, смешивая два отдельных свойства: наличие общей прямой и прямой угол между плоскостями. Проверьте себя: установите величину линейного угла, и только при 90° делайте вывод о перпендикулярности.

Нельзя измерять угол между плоскостями по произвольным прямым, лежащим в них. Такие прямые могут быть направлены как угодно и не отражать наклон самих плоскостей; нужные прямые строят перпендикулярно линии пересечения. Для проверки убедитесь, что обе стороны измеряемого угла перпендикулярны одному и тому же ребру.

Двугранный угол и его линейный угол — связанные, но не одинаковые фигуры: первый расположен в пространстве, второй является плоским углом в специальном сечении. Путаница возникает, когда сечение не учитывают и считают, что любой угол между направлениями в гранях подходит для измерения. Проверьте построение: вершина линейного угла лежит на ребре, а его стороны перпендикулярны ребру.

Тупой двугранный угол нельзя автоматически принимать за угол между плоскостями. При пересечении есть смежный с ним меньший угол, и именно его величину используют для пары плоскостей. Чтобы проверить ответ, сравните выбранный угол с 90°: угол между плоскостями не бывает тупым.

Связь с другими темами

Для работы с углом между плоскостями нужны знания о перпендикулярности прямых, угле между прямыми и построении перпендикуляра к прямой. Именно перпендикулярные прямые в гранях позволяют построить линейный угол. Понятие двугранного угла связывает плоскую геометрию с пространственной: измерение выполняется в сечении, а вывод относится к плоскостям.

Определение перпендикулярных плоскостей служит основой для дальнейшего изучения признаков их перпендикулярности. Оно также помогает решать задачи о взаимном расположении прямых и плоскостей: установив связь между плоскостями, можно анализировать, как в них расположены прямые.

Что запомнить

• Пересекающиеся плоскости образуют двугранные углы.
• Линейный угол двугранного угла образуют лучи, перпендикулярные его ребру.
• Угол между плоскостями измеряют линейным углом двугранного угла.
• Угол между плоскостями принимают не больше 90°.
• Плоскости перпендикулярны, если угол между ними равен 90°.
• Сам факт пересечения плоскостей не означает их перпендикулярности.