8.2. Свойства взаимно перпендикулярных плоскостей

Определения и обозначения

Взаимно перпендикулярные плоскости — две пересекающиеся плоскости, образующие двугранный угол величиной 90°. Двугранный угол образован двумя полуплоскостями с общей граничной прямой. Определение позволяет говорить не о случайно выбранных линиях, а о взаимном расположении плоскостей целиком. Их перпендикулярность обозначают, например, α ⟂ β.

Линия пересечения плоскостей — общая прямая, по которой две пересекающиеся плоскости имеют общие точки. Если плоскости α и β пересекаются по прямой l, то l лежит и в α, и в β. Эта прямая служит ребром двугранного угла. Её нужно указывать в доказательствах, потому что свойства перпендикулярных плоскостей связаны именно с ребром угла.

Линейный угол двугранного угла — угол, стороны которого перпендикулярны ребру двугранного угла и лежат в его гранях. Его величина задаёт величину двугранного угла, поэтому прямой линейный угол означает, что грани перпендикулярны. Чтобы построить такой угол, выбирают точку на ребре и проводят в каждой грани прямую, перпендикулярную ребру. Это определение даёт способ измерить угол между плоскостями обычным плоским углом.

Как это устроено

Чтобы проверить перпендикулярность плоскостей через линейный угол, достаточно установить, что этот угол прямой. Сначала находят линию пересечения плоскостей, затем в каждой из них проводят прямую, перпендикулярную этой линии. Эти прямые образуют линейный угол двугранного угла, а его величина по определению равна углу между плоскостями. Если получен угол 90°, плоскости перпендикулярны.

Пусть α и β перпендикулярны и пересекаются по l, а прямая a лежит в α и перпендикулярна l. В плоскости β через точку пересечения можно провести прямую b, перпендикулярную l. Угол между a и b — линейный угол двугранного угла; он прямой, поэтому a ⟂ b. Прямые b и l пересекаются и лежат в β, причём a перпендикулярна обеим: значит, a перпендикулярна плоскости β.

Обратное утверждение используют как признак: если α содержит прямую a, перпендикулярную плоскости β, то α и β перпендикулярны. Ведь прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, проходящей через точку их пересечения. В частности, она образует прямой угол с направлением, перпендикулярным линии пересечения α и β. Поэтому линейный угол двугранного угла равен 90°, а плоскости перпендикулярны.

Для доказательства часто строят в одной плоскости прямую, перпендикулярную линии пересечения. Через выбранную точку на этой линии проводят перпендикуляр к ней, лежащий в нужной плоскости; существование такой прямой следует из планиметрии. Затем проверяют, что плоскости перпендикулярны, и применяют свойство: построенная прямая перпендикулярна другой плоскости. Важно явно указать, в какой плоскости лежит прямая и что она перпендикулярна именно линии пересечения: без этих условий нужное свойство применить нельзя.

Признаки и следствия перпендикулярности плоскостей

В первой строке таблицы дан способ проверить угол непосредственно, во второй — признак, который часто сокращает доказательство. Последняя строка описывает следствие уже установленной перпендикулярности. Перед применением любого пункта проверь, что прямая и плоскости расположены именно так, как требует условие.

Разбор задач

Задача 1. Две плоскости пересекаются по прямой l. В одной плоскости проведена прямая a, перпендикулярная l. Найдите угол между плоскостями.

1. Обозначим плоскости через α и β и предположим, что a лежит в α. По условию α и β пересекаются по l, а a ⟂ l. Эти данные позволяют применить свойство прямой в одной из перпендикулярных плоскостей.
2. Само условие a ⟂ l ещё не говорит, что плоскости перпендикулярны. Если α и β перпендикулярны, тогда из свойства следует a ⟂ β. Именно это свойство связывает перпендикуляр к линии пересечения с перпендикуляром к другой плоскости.
3. Следовательно, сведений в условии недостаточно, чтобы однозначно найти угол: прямая a может быть перпендикулярна l и при неперпендикулярных плоскостях. Если дополнительно сказано, что a ⟂ β, то по признаку плоскости перпендикулярны, и угол между ними равен 90°.

Ответ: по указанным данным угол определить нельзя; при дополнительном условии a ⟂ β он равен 90°.

Задача 2. Плоскости α и β пересекаются по прямой l. Прямая a лежит в α и перпендикулярна β. Докажите, что α и β перпендикулярны.

1. По условию a ⊂ α и a ⟂ β. Это в точности условие признака перпендикулярности плоскостей: одна из них содержит прямую, перпендикулярную другой.
2. Можно также увидеть, как возникает прямой двугранный угол. Прямая a перпендикулярна каждой прямой плоскости β, проходящей через точку её пересечения с β, в том числе прямой, перпендикулярной l.
3. Такая прямая вместе с a образует линейный угол двугранного угла между α и β. Он прямой, поэтому плоскости перпендикулярны.

Ответ: α ⟂ β.

Задача 3. В кубе докажите, что плоскости двух соседних граней перпендикулярны, и укажите прямую, перпендикулярную плоскости одной из граней.

1. Обозначим куб ABCDEFGH так, что ABCD — нижняя грань, а ABFE — соседняя с ней боковая грань. Ребро AE принадлежит плоскости ABFE. Покажем, что оно перпендикулярно плоскости ABCD.
2. В квадрате ABCD пересекаются прямые AB и AD. Ребро AE перпендикулярно AB и AD: это соседние рёбра куба, выходящие из одной вершины. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости AE ⟂ (ABCD), поскольку AE перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.
3. Плоскость ABFE содержит прямую AE, перпендикулярную плоскости ABCD. По признаку перпендикулярности плоскостей получаем, что грани ABFE и ABCD перпендикулярны.

Ответ: плоскости ABFE и ABCD перпендикулярны; AE ⟂ (ABCD).

Типичные ошибки

Ошибка: считать плоскости перпендикулярными, потому что в них нашлись перпендикулярные прямые. Такие прямые могут быть выбраны произвольно и не задавать угол между плоскостями. Чтобы проверить себя, укажи линию пересечения и построй линейный угол либо докажи, что прямая одной плоскости перпендикулярна другой плоскости.

Ошибка: считать, что прямая, перпендикулярная линии пересечения, автоматически перпендикулярна всей другой плоскости. Это заключение работает при дополнительном условии, что плоскости перпендикулярны; одна перпендикулярность к линии недостаточна. Проверь, не используешь ли ты свойство раньше, чем доказана его предпосылка.

Ошибка: не указывать, в какой плоскости лежит рассматриваемая прямая. Без этого нельзя применить свойство о прямой, лежащей в одной из перпендикулярных плоскостей, или соответствующий признак. В записи доказательства назови плоскость и отметь принадлежность прямой, например a ⊂ α.

Ошибка: принимать за линейный угол любой угол между прямыми в гранях. Такой угол измеряет двугранный угол лишь тогда, когда обе его стороны перпендикулярны ребру и лежат в гранях. Проверь оба условия для построенных прямых; иначе по величине выбранного угла нельзя судить о перпендикулярности плоскостей.

Связь с другими темами

Для изучения темы понадобятся определения двугранного угла, его ребра и линейного угла. Также нужно знать признак перпендикулярности прямой и плоскости: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости. Это позволяет, например, обосновать перпендикулярность ребра куба грани.

Свойства перпендикулярных плоскостей применяются в стереометрических доказательствах, при построении сечений и в задачах о многогранниках. Они помогают находить углы и расстояния: если доказана перпендикулярность, удобно выделить прямую, перпендикулярную плоскости, и использовать её как высоту или кратчайший отрезок. Поэтому сначала устанавливают взаимное расположение объектов, а затем выполняют вычисления.

Что запомнить

• Перпендикулярные плоскости пересекаются под прямым углом.
• Величина двугранного угла равна величине его линейного угла.
• Если две плоскости перпендикулярны, то прямая одной из них, перпендикулярная линии пересечения, перпендикулярна другой плоскости.
• Если одна плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
• В доказательстве обязательно указывай линию пересечения плоскостей и положение рассматриваемой прямой.