8.3. Признак перпендикулярности плоскостей

Определения и обозначения

Перпендикулярные плоскости — две пересекающиеся плоскости, угол между которыми равен 90°. Угол между плоскостями определяют через линейный угол двугранного угла. Поэтому для доказательства обычно ищут не сам угол, а подходящие перпендикулярные прямые.

Двугранный угол — фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой. Общую прямую называют ребром двугранного угла, а полуплоскости — его гранями. В пространстве именно ребро задаёт линию, относительно которой сравнивают две плоскости.

Линейный угол двугранного угла — угол между лучами, проведёнными из одной точки ребра перпендикулярно ребру в гранях двугранного угла. Он показывает наклон одной грани к другой. Величина этого угла равна углу между плоскостями.

Признак перпендикулярности плоскостей: если одна из двух плоскостей содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Это утверждение превращает пространственную задачу об угле в более удобную задачу о нахождении одной прямой.

Как это устроено

У пересекающихся плоскостей есть общая прямая — ребро двугранного угла. Чтобы сравнить наклон плоскостей, в каждой из них выбирают прямую, перпендикулярную этому ребру, причём обе прямые проходят через одну точку ребра. Угол между выбранными лучами не зависит от случайного выбора точки и называется линейным углом двугранного угла.

Предположим, что прямая одной плоскости перпендикулярна другой плоскости. Тогда она перпендикулярна каждой прямой второй плоскости, проходящей через основание этого перпендикуляра. Линия пересечения плоскостей лежит во второй плоскости и проходит через это основание, поэтому данная прямая перпендикулярна и ребру двугранного угла.

В первой плоскости через ту же точку проводят прямую, перпендикулярную ребру. Прямая из условия и эта новая прямая лежат в одной плоскости и обе перпендикулярны ребру, поэтому они совпадают, если проходят через одну точку. Следовательно, прямая из условия вместе с подходящей прямой второй грани задаёт линейный угол двугранного угла.

Прямая из условия перпендикулярна второй плоскости, а значит, перпендикулярна и выбранной в ней прямой. Линейный угол двугранного угла поэтому равен 90°. Так как величина линейного угла совпадает с углом между плоскостями, плоскости перпендикулярны.

При решении задачи не обязательно находить величину угла между плоскостями. Достаточно указать прямую, лежащую в одной плоскости, и доказать, что она перпендикулярна другой плоскости. После этого признак сразу даёт нужный вывод.

Признак перпендикулярности плоскостей: условие и вывод

Пользуйтесь таблицей как алгоритмом проверки: сначала установите, что плоскости пересекаются, затем найдите нужную прямую. После доказательства её перпендикулярности второй плоскости вывод о перпендикулярности плоскостей делается по признаку.

Если используется линейный угол, проверьте, что его стороны проходят через одну точку ребра и перпендикулярны этому ребру. Обычный угол между произвольными прямыми из двух плоскостей таким углом не является.

Разбор задач

1. Куб

Нужно определить взаимное положение плоскостей ABCD и ABB₁A₁ в кубе ABCDA₁B₁C₁D₁. Плоскость ABCD содержит ребро AD, а плоскость ABB₁A₁ содержит перпендикулярные ему рёбра AB и AA₁. Поэтому можно применить признак.

1. Ребро AD лежит в плоскости ABCD.
2. В кубе AD ⟂ AB и AD ⟂ AA₁, причём AB и AA₁ — пересекающиеся прямые плоскости ABB₁A₁.
3. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости AD ⟂ ABB₁A₁.
4. Плоскость ABCD содержит прямую AD, перпендикулярную плоскости ABB₁A₁.

Ответ: ABCD ⟂ ABB₁A₁.

2. Тетраэдр

В тетраэдре SABC известно, что SA ⟂ ABC. Требуется доказать перпендикулярность плоскостей SAB и ABC. Здесь нужная прямая уже дана в условии, поэтому дополнительных построений не требуется.

1. Прямая SA лежит в плоскости SAB.
2. По условию SA перпендикулярна плоскости ABC.
3. Следовательно, плоскость SAB содержит прямую, перпендикулярную плоскости ABC.
4. По признаку перпендикулярности плоскостей SAB ⟂ ABC.

Ответ: плоскости SAB и ABC перпендикулярны.

3. Прямоугольный параллелепипед

В условии сказано, что A₁C перпендикулярна плоскости ABCD, и предлагается доказать A₁BD ⟂ ABCD. Однако для невырожденного прямоугольного параллелепипеда такая предпосылка невозможна: ортогональная проекция A₁C на основание ABCD — диагональ AC, а не точка.

1. Если A₁C ⟂ ABCD, её проекция на плоскость ABCD должна быть точкой.
2. Но проекция отрезка A₁C на основание — отрезок AC, имеющий ненулевую длину.
3. Значит, A₁C не может быть перпендикулярна плоскости ABCD.
4. Кроме того, прямая A₁C не лежит в плоскости A₁BD, поэтому применить к ней признак нельзя.

Ответ: задача в указанной формулировке содержит противоречие; доказательство невозможно без исправления условия.

Типичные ошибки

Ошибка — считать плоскости перпендикулярными только из-за наличия в них двух перпендикулярных прямых. Такие прямые должны задавать линейный угол двугранного угла или одна из них должна быть перпендикулярна другой плоскости. Проверьте, проходят ли прямые через одну точку линии пересечения и перпендикулярны ли самому ребру.

Нельзя доказать перпендикулярность прямой одной прямой в плоскости и сразу объявить её перпендикулярной всей плоскости. Для этого нужны две пересекающиеся прямые данной плоскости или известный признак перпендикулярности прямой и плоскости. Отдельно убедитесь, что прямая действительно лежит в рассматриваемой плоскости.

Не путайте прямую, перпендикулярную плоскости, с прямой, перпендикулярной только линии пересечения плоскостей. Первая перпендикулярна всем подходящим прямым плоскости, а вторая может иметь лишь одно подтверждённое направление. Проверяйте, к какому объекту относится каждый знак перпендикулярности.

Ещё одна ошибка — называть углом между плоскостями угол произвольных прямых, лежащих в этих плоскостях. Сначала установите, что прямые образуют линейный угол двугранного угла. Если это не так, полученный угол не даёт нужного вывода.

Связь с другими темами

Для применения признака нужны признак перпендикулярности прямой и плоскости и свойства перпендикулярных прямых. Также необходимо уметь находить угол между плоскостями через линейный угол двугранного угла.

Эти знания используются при изучении многогранников, а также в задачах на углы и расстояния в пространстве. Признак помогает заменять сложное вычисление угла коротким геометрическим доказательством.

Что запомнить

• Плоскости перпендикулярны, если угол между ними равен 90°.
• Угол между плоскостями измеряют линейным углом двугранного угла.
• Если одна плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то плоскости перпендикулярны.
• Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, проходящей через основание перпендикуляра.
• В доказательстве сначала укажи прямую и плоскость, к которым применяешь признак.
• Не заменяй перпендикулярность прямой и плоскости перпендикулярностью одной пары прямых.