8.4. Две пересекающиеся плоскости, перпендикулярные третьей плоскости

Определения и обозначения

Две пересекающиеся плоскости называют перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. Записывают: α ⟂ β. Это понятие позволяет сравнивать не отдельные прямые, а положение целых плоскостей в пространстве.

Пересекающиеся плоскости имеют общие точки, и все эти точки лежат на одной прямой. Если плоскости α и β пересекаются, это записывают так: α ∩ β = a. Условие пересечения необходимо, чтобы можно было говорить об общей линии двух плоскостей.

Прямая a называется линией пересечения плоскостей α и β. Она одновременно лежит и в α, и в β, то есть является их общей прямой. Именно для этой прямой устанавливается перпендикулярность к третьей плоскости γ.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, проходящей через точку её пересечения с данной плоскостью. Обозначение: a ⟂ γ. Это обозначение понадобится, чтобы записать результат основной теоремы.

Как это устроено

Пусть плоскости α и β пересекаются по прямой a, а каждая из них перпендикулярна плоскости γ: α ⟂ γ и β ⟂ γ. Плоскости α и β могут быть наклонены к γ по-разному, но их общая линия при этом сохраняет одно и то же пространственное направление. Теорема утверждает: a ⟂ γ.

Почему возникает именно такое направление? В каждой плоскости, перпендикулярной γ, можно провести прямую, перпендикулярную γ. Все прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны между собой, поэтому выбранные направления в α и β совпадают. Общая прямая α и β также идёт в этом направлении, значит, она перпендикулярна γ.

Доказательство можно представить через свойства перпендикуляров. Возьмём в γ точку пересечения с плоскостями и проведём в α и β прямые, перпендикулярные γ. Они параллельны друг другу и задают общее направление двух пересекающихся плоскостей. Линия их пересечения a имеет это направление, поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости получаем a ⟂ γ.

Теорема допускает и обратное применение. Пусть a = α ∩ β, причём a ⟂ γ и α ⟂ γ. Прямая a лежит в плоскости β и перпендикулярна γ, а плоскость β пересекает γ; по критерию перпендикулярности плоскости и прямой, перпендикулярной другой плоскости, следует β ⟂ γ. Так находят перпендикулярность второй плоскости, не доказывая её напрямую.

Связи между тремя плоскостями и их линией пересечения

Таблица показывает, как из исходных условий получить нужный вывод. Сначала проверьте, что α и β пересекаются и линия a действительно существует, затем применяйте свойства перпендикулярных плоскостей. Последняя строка описывает обратный ход рассуждения.

Разбор задач

Задача 1. Плоскости α и β пересекаются по прямой a; известно, что α ⟂ γ и β ⟂ γ. Докажем, что a ⟂ γ.

1. Из условия α ∩ β = a, поэтому a является линией пересечения плоскостей.
2. Обе плоскости α и β перпендикулярны одной плоскости γ.
3. По теореме о двух пересекающихся плоскостях, перпендикулярных третьей, получаем a ⟂ γ.

Ответ: a ⟂ γ.

Задача 2. В прямоугольном параллелепипеде ABCD A₁B₁C₁D₁ плоскости ABB₁A₁ и BCC₁B₁ перпендикулярны основанию ABCD. Найдём угол между BB₁ и плоскостью ABCD.

1. Боковые плоскости ABB₁A₁ и BCC₁B₁ пересекаются по общей прямой BB₁.
2. Обе они перпендикулярны плоскости основания ABCD.
3. По теореме их линия пересечения BB₁ перпендикулярна ABCD.
4. Угол между прямой и плоскостью, если они перпендикулярны, равен 90°.

Ответ: 90°.

Задача 3. Плоскости α и β пересекаются по прямой a. Известно, что a ⟂ γ, а α ⟂ γ. Докажем, что β ⟂ γ.

1. Прямая a лежит в плоскости β, потому что a = α ∩ β.
2. Эта прямая перпендикулярна плоскости γ.
3. Плоскость β содержит прямую, перпендикулярную γ, и пересекает γ.
4. По критерию перпендикулярности плоскости и прямой получаем β ⟂ γ.

Ответ: β ⟂ γ.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что любые две плоскости, перпендикулярные третьей, параллельны. Так переносят свойство прямых на плоскости без проверки их положения. Проверьте, могут ли плоскости иметь общую прямую: две вертикальные плоскости, например, пересекаются.

Ошибка: путать a = α ∩ β с линией пересечения одной из этих плоскостей с γ. Буква a обозначает именно общую прямую α и β. Перед решением выпишите равенство α ∩ β = a.

Ошибка: делать вывод a ⟂ γ только потому, что a лежит в α. Принадлежность прямой плоскости не означает её перпендикулярность другой плоскости. Нужны дополнительные условия: β ⟂ γ и пересечение α с β по прямой a.

Ошибка: применять теорему, когда α и β параллельны. В этом случае линия пересечения не существует, поэтому нельзя определить прямую a. Сначала проверьте условие α ∩ β = a.

Связь с другими темами

Перед изучением темы нужно знать определения перпендикулярности прямой и плоскости, перпендикулярных плоскостей и свойства пересечения плоскостей. Эти понятия образуют язык, на котором записывается теорема.

Доказательство опирается на признак перпендикулярности прямой и плоскости, а также на свойства параллельных и перпендикулярных прямых в пространстве. Поэтому полезно уметь отличать направление прямой от положения всей плоскости.

Результат применяется в задачах о прямоугольном параллелепипеде и кубе, ортогональных проекциях и взаимном расположении плоскостей. Он позволяет заменять пространственное рассуждение коротким применением теоремы.

Что запомнить

• Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей, их линия пересечения перпендикулярна третьей.
• Главное условие теоремы — пересечение двух плоскостей по прямой.
• Обозначение линии пересечения: α ∩ β = a.
• Из α ⟂ γ и β ⟂ γ при α ∩ β = a следует a ⟂ γ.
• Нельзя заменять перпендикулярность плоскостей их параллельностью.
• Для обратного вывода используют критерий перпендикулярности плоскости и прямой, перпендикулярной другой плоскости.