20. Признак перпендикулярности плоскостей

Определения и обозначения

Перпендикулярными называют две плоскости, угол между которыми равен 90°. Записывают это так: α ⟂ β. Такое определение позволяет точно описать взаимное положение плоскостей и отличить прямой угол между ними от любого другого.

Признак перпендикулярности плоскостей — правило, по которому можно доказать, что две плоскости перпендикулярны: если одна из них содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Он нужен, когда проще установить перпендикулярность прямой и плоскости, чем непосредственно находить угол между плоскостями.

Линейный угол двугранного угла — угол, стороны которого лежат в гранях двугранного угла и перпендикулярны его ребру. Если плоскости пересекаются, их общая прямая служит ребром двугранного угла, а его линейный угол задаёт угол между плоскостями. Поэтому перпендикулярность плоскостей означает, что этот угол прямой.

Как это устроено

Две пересекающиеся плоскости имеют общую прямую, которая называется линией их пересечения. Вместе с этой прямой плоскости образуют двугранный угол, похожий на раскрытие двух полуплоскостей вдоль общего ребра. Чтобы измерить его, в каждой плоскости проводят луч из одной точки ребра перпендикулярно этому ребру. Полученный угол называется линейным и именно он определяет угол между плоскостями, а не произвольный угол между выбранными в них прямыми.

Признак формулируется так: если одна из двух плоскостей содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то плоскости перпендикулярны. Важно, что прямая должна лежать в одной из плоскостей, а её перпендикулярность должна относиться ко всей другой плоскости. Например, если a лежит в α и a ⟂ β, то α ⟂ β.

Почему этого достаточно? Пусть α и β пересекаются по прямой c, а прямая a лежит в α и перпендикулярна β. Поскольку c принадлежит β, прямая a перпендикулярна c. В плоскости α прямая a задаёт направление, перпендикулярное линии пересечения, а в β можно провести через ту же точку прямую, тоже перпендикулярную c. Угол между этими направлениями — линейный угол двугранного угла; перпендикулярность a плоскости β делает его прямым, значит, α ⟂ β.

Связь работает и в обратном направлении: если плоскости перпендикулярны, то в одной из них можно провести прямую, перпендикулярную другой плоскости. Для этого берут точку на линии пересечения и в первой плоскости проводят через неё прямую, перпендикулярную линии пересечения. Так как двугранный угол прямой, эта прямая перпендикулярна направлению в другой плоскости, перпендикулярному общей линии; она также перпендикулярна самой линии пересечения. Эти два направления задают вторую плоскость, поэтому прямая перпендикулярна ей.

В доказательстве удобно действовать в три шага. Сначала обозначьте обе плоскости, перпендикулярность которых нужно установить. Затем найдите прямую, лежащую в одной из них; наконец, обоснуйте, что она перпендикулярна другой плоскости, и примените признак. Если доказана перпендикулярность только одной прямой в плоскости, этого ещё недостаточно: потребуется дополнительное обоснование.

Определение и признак перпендикулярности плоскостей

Сначала определите, что именно дано: прямой угол между плоскостями или прямая, перпендикулярная одной из них. Во втором случае проверьте, что прямая действительно лежит в другой плоскости. Последняя строка таблицы помогает проверить, хватает ли обоснований для применения признака.

Разбор задач

Задача 1

Условие: в плоскости α лежит прямая a, перпендикулярная плоскости β. Докажите, что α ⟂ β. Здесь нужная перпендикулярность прямой и плоскости уже дана, поэтому остаётся проверить, подходит ли расположение прямой для признака. Поскольку a лежит в α, признак применим.

1. Укажем, какие плоскости сравниваем: α и β.
2. Используем данные: a ⊂ α и a ⟂ β.
3. По признаку перпендикулярности плоскостей получаем α ⟂ β.

Ответ: α ⟂ β.

Задача 2

Условие: в треугольной призме боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. Докажите, что плоскость боковой грани, содержащей это ребро, перпендикулярна плоскости основания. Главное — не перепутать ребро с плоскостью: сначала нужно установить, где лежит ребро, а затем применить признак.

1. Обозначим плоскость основания через β, а плоскость боковой грани, содержащей ребро, — через α.
2. Пусть данное боковое ребро — a. По условию a ⟂ β, а по выбору грани a ⊂ α.
3. В α есть прямая, перпендикулярная β, значит, по признаку α ⟂ β.

Ответ: плоскость указанной боковой грани перпендикулярна плоскости основания.

Задача 3

Условие: плоскости α и β пересекаются по прямой c и образуют прямой двугранный угол. Прямая a лежит в α и перпендикулярна c. Докажите, что a ⟂ β. Здесь важно связать данное условие о двугранном угле с направлением в плоскости β, а не ограничиться словами «a перпендикулярна c».

1. Возьмём на c точку пересечения с a и проведём в β через эту точку прямую b, перпендикулярную c.
2. Прямой двугранный угол означает, что его линейный угол равен 90°. Поэтому a и b, перпендикулярные c в соответствующих плоскостях, перпендикулярны друг другу.
3. По условию a ⟂ c, а также a ⟂ b. Прямые b и c пересекаются и лежат в β, следовательно, a перпендикулярна β.

Ответ: a ⟂ β.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что достаточно найти прямую, перпендикулярную линии пересечения плоскостей. Такая прямая может быть перпендикулярна общей линии, но образовывать с другими прямыми второй плоскости не прямой угол. Для проверки убедитесь, что доказана перпендикулярность всей плоскости, например с помощью двух пересекающихся прямых в ней.

Ошибка: не указывать, в какой плоскости лежит прямая из признака. Признак требует, чтобы эта прямая принадлежала одной из рассматриваемых плоскостей, а иначе связать её с нужным двугранным углом нельзя. В доказательстве явно запишите, например, a ⊂ α и a ⟂ β.

Ошибка: подменять признак определением и считать, что из α ⟂ β следует, будто любая прямая α перпендикулярна β. У перпендикулярных плоскостей прямой угол задаётся определёнными направлениями, а не всеми прямыми в них. Проверьте, есть ли у выбранной прямой нужное условие, или вы только знаете перпендикулярность плоскостей.

Ошибка: принимать произвольный угол между прямыми в плоскостях за угол между самими плоскостями. Такой угол зависит от выбора прямых и не обязан равняться линейному углу двугранного угла. Для проверки найдите общую линию плоскостей и рассмотрите прямые, перпендикулярные ей в каждой плоскости.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определение перпендикулярности прямой и плоскости и теорема о прямой, перпендикулярной плоскости: с их помощью обосновывают ключевое условие признака. Также важно уметь находить линейный угол двугранного угла, поскольку он объясняет связь между углом плоскостей и перпендикулярностью. Признак пригодится в задачах о многогранниках, в частности при рассмотрении боковых граней и оснований, а также при построении перпендикуляров между плоскостями.

Что запомнить

• Перпендикулярные плоскости образуют угол 90°.
• Чтобы применить признак, найдите прямую одной плоскости, перпендикулярную другой плоскости.
• Перпендикулярность прямой плоскости нужно доказать, а не выводить из перпендикулярности одной прямой.
• Угол между плоскостями связан с линейным углом образованного ими двугранного угла.
• В доказательстве явно называйте обе плоскости и прямую, к которой применяете признак.