21. Расстояние между скрещивающимися прямыми

Определения и обозначения

Скрещивающиеся прямые — прямые в пространстве, которые не пересекаются и не параллельны. Если бы они лежали в одной плоскости, то были бы либо пересекающимися, либо параллельными, поэтому скрещивающиеся прямые некомпланарны. Это различие помогает понять, почему для них нельзя просто найти точку пересечения или расстояние между параллельными линиями.

Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых — отрезок, концы которого лежат на этих прямых, а сам он перпендикулярен каждой из них. Такой отрезок одновременно соединяет прямые и показывает кратчайшее направление между ними. В обозначениях, например, если отрезок MN соединяет прямые l и m, то M ∈ l, N ∈ m, MN ⟂ l и MN ⟂ m.

Расстояние между скрещивающимися прямыми — длина их общего перпендикуляра. Среди всех отрезков, соединяющих точки этих прямых, именно этот имеет наименьшую длину. Поэтому, найдя общий перпендикуляр, нужно определить длину отрезка, а не измерять на чертеже произвольное расстояние.

Как это устроено

Можно выбрать точку на первой прямой и найти расстояние от неё до второй, но это не даст расстояния между прямыми. При перемещении точки по первой прямой перпендикуляр к другой обычно меняет длину, потому что точки не расположены в одной плоскости. Значит, результат зависит от выбора точки и не характеризует пару прямых в целом. Нужен отрезок, который одновременно задаёт наименьшее расстояние для обеих прямых.

Через одну из прямых можно провести плоскость, параллельную другой: направление второй прямой не пересекает первую, поэтому такая плоскость существует. Однако расстояние от второй прямой до этой плоскости не всегда равно расстоянию между исходными прямыми: перпендикуляр к плоскости может попасть не на первую прямую. Чтобы свести задачу к расстоянию до плоскости, выбирают построение так, чтобы перпендикулярный отрезок соединял именно заданные прямые. Тогда расстояние до плоскости совпадает с длиной общего перпендикуляра.

Общий перпендикуляр должен пересечь обе прямые, поскольку его концы лежат на них. Если построить через каждую прямую плоскость, перпендикулярную общему направлению, эти плоскости параллельны, а отрезок между ними можно выбрать перпендикулярным обеим прямым. Расстояние между такими плоскостями равно длине этого отрезка. Важно, что плоскости должны быть выбраны именно с учётом общего перпендикуляра, а не произвольно.

Существование и единственность общего перпендикуляра следует из того, что у двух непараллельных прямых в пространстве есть единственное направление, перпендикулярное направлениям обеих прямых. Параллельные этому направлению плоскости, проведённые через прямые, дают единственный отрезок, который соединяет обе прямые и перпендикулярен им. Любой другой отрезок между прямыми имеет составляющую вдоль их направлений и потому длиннее перпендикулярного. Так обосновывают и единственность общего перпендикуляра, и минимальность его длины.

На чертеже сначала ищут отрезок, концы которого принадлежат разным прямым, а затем доказывают его перпендикулярность каждой. В многограннике им может оказаться ребро, диагональ грани или отрезок, построенный дополнительно. Если удобнее работать с плоскостью, проверьте, что выбранный перпендикуляр к ней соединяет исходные прямые. Только после такой проверки расстояние от прямой до плоскости можно принять за искомое.

Способы задать и найти расстояние между скрещивающимися прямыми

Сначала выберите способ, для которого легче доказать нужные перпендикулярности. Во втором столбце нельзя пропускать обоснование: произвольные параллельные плоскости, содержащие прямые, могут не дать искомое расстояние. После доказательства останется найти длину отрезка или расстояние между плоскостями.

Разбор задач

Задача 1

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром a найдите расстояние между прямыми AB и CC₁. Эти прямые не пересекаются и не параллельны, значит, они скрещиваются. Нужно найти отрезок, который соединяет их и перпендикулярен обеим.

1. Точка B лежит на AB, а точка C лежит на CC₁, поэтому отрезок BC соединяет заданные прямые.
2. В кубе BC ⟂ AB, так как это смежные рёбра квадратной грани ABCD.
3. Ребро BC перпендикулярно CC₁, поскольку смежные рёбра куба взаимно перпендикулярны.
4. Значит, BC — общий перпендикуляр, а его длина равна ребру куба: BC = a.

Ответ: a.

Задача 2

В прямоугольном параллелепипеде AB = a, BC = b, а AB и CC₁ — скрещивающиеся прямые. Найдите расстояние между ними. Здесь удобно проверить, подходит ли ребро BC: оно выходит из точки B на AB и приходит в точку C на CC₁. Если оно перпендикулярно обеим прямым, его длина и будет ответом.

1. Точки B и C принадлежат соответственно AB и CC₁, поэтому BC соединяет прямые.
2. В прямоугольной грани ABCD смежные рёбра AB и BC перпендикулярны.
3. Ребро BC перпендикулярно CC₁, так как смежные рёбра прямоугольного параллелепипеда образуют прямой угол.
4. Следовательно, BC — общий перпендикуляр, и расстояние равно BC = b.

Ответ: b.

Задача 3

Даны скрещивающиеся прямые l и m и плоскость α, проходящая через l параллельно m. Требуется найти расстояние между прямыми, если известна длина перпендикуляра, который соединяет заданные прямые и перпендикулярен α. Обозначим длину этого отрезка через d. Перед вычислением нужно убедиться, что его концы лежат именно на l и m.

1. Проверяем, что отрезок с длиной d соединяет точку прямой m с точкой прямой l.
2. Так как отрезок перпендикулярен α, а l лежит в α, он перпендикулярен l.
3. По условию отрезок перпендикулярен m, поэтому он является общим перпендикуляром заданных прямых.
4. Расстояние между прямыми равно длине общего перпендикуляра, то есть d.

Ответ: d. Если известно лишь, что α проходит через l и параллельна m, но перпендикуляр к α не соединяет сами прямые, этих данных недостаточно: равенство расстояний нужно отдельно обосновать.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать расстоянием любой отрезок с концами на скрещивающихся прямых. Такой отрезок может быть наклонным и длиннее общего перпендикуляра; часто его выбирают просто потому, что он заметен на рисунке. Проверьте, перпендикулярен ли он обеим прямым. Если хотя бы одно условие не выполнено, его длина не является искомым расстоянием.

Вторая ошибка — доказать перпендикулярность отрезка только одной прямой. Отрезок может быть перпендикулярен одной прямой, но образовывать с другой наклонный угол. Это происходит, когда проверяют лишь одну грань или одно свойство фигуры. Отдельно установите перпендикулярность к каждой из двух прямых.

Третья ошибка — путать скрещивающиеся прямые с параллельными. Обе пары могут не иметь общих точек, поэтому одного факта «не пересекаются» недостаточно. Проверьте, лежат ли прямые в одной плоскости и параллельны ли их направления. Скрещивающиеся прямые некомпланарны, а параллельные всегда можно поместить в одну плоскость.

Четвёртая ошибка — считать расстояние между прямыми равным расстоянию между любыми выбранными параллельными плоскостями, содержащими эти прямые. Плоскости могут быть расположены так, что перпендикуляр между ними не соединяет исходные прямые. Перед вычислением укажите, где лежат концы перпендикуляра, и докажите его перпендикулярность обеим прямым. Если это не получается, выбранные плоскости не обосновывают ответ.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны признаки скрещивающихся прямых, перпендикулярность прямой и плоскости и умение находить расстояние от точки до плоскости. Свойства параллельных плоскостей помогают сводить пространственную задачу к поиску перпендикулярного отрезка. При изучении многогранников эти знания позволяют вычислять расстояния между рёбрами и другими прямыми. Общий перпендикуляр также пригодится в задачах об углах и расстояниях между прямыми и плоскостями.

Что запомнить

• Скрещивающиеся прямые не пересекаются, не параллельны и не лежат в одной плоскости.
• Расстояние между скрещивающимися прямыми измеряют общим перпендикуляром.
• Общий перпендикуляр перпендикулярен каждой из двух прямых.
• Длина общего перпендикуляра — наименьшее расстояние между прямыми.
• Расстояние можно связать с расстоянием между параллельными плоскостями, если построение и перпендикуляр доказаны.