§ 17. Двугранный угол. Угол между плоскостями

Определения и обозначения

Двугранный угол — фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой. Эти полуплоскости называются гранями двугранного угла. Такое определение описывает пространственную фигуру, похожую на раскрытую книжку.

Ребро двугранного угла — общая граничная прямая двух его граней. Оно является линией, вдоль которой соединяются полуплоскости. По ребру удобно определять положение двугранного угла и строить его линейный угол.

Линейный угол двугранного угла — угол, образованный двумя лучами, проведёнными из одной точки ребра в его гранях перпендикулярно этому ребру. Лучи должны лежать именно в гранях, а не просто начинаться на ребре. Такой угол позволяет измерить пространственный объект обычными средствами планиметрии.

Угол между плоскостями — величина меньшего из углов, образованных при пересечении этих плоскостей. Он не превышает 90°. Это числовая характеристика взаимного наклона плоскостей, а не отдельная пространственная фигура.

Как это устроено

Если две плоскости пересекаются, их общая часть является прямой. Эта прямая делит каждую из плоскостей на две полуплоскости, поэтому всего образуются четыре грани и четыре двугранных угла. Соседние двугранные углы дополняют друг друга до развёрнутого угла, а вертикальные двугранные углы равны.

Для измерения двугранного угла берут сечение плоскостью, перпендикулярной его ребру. В такой плоскости следы граней превращаются в две прямые или лучи, перпендикулярные общей линии пересечения. Поэтому пространственное расположение граней сводится к обычному углу на плоскости, который можно измерить транспортиром или найти расчётом.

Точка на ребре может быть выбрана произвольно. Если перенести её вдоль ребра, соответствующие лучи в гранях переместятся параллельно самим себе, потому что каждый из них остаётся перпендикулярным одной и той же прямой. Параллельный перенос не меняет направления лучей, а значит, сохраняет и угол между ними.

Следовательно, величина линейного угла не зависит от места построения и равна величине двугранного угла. При пересечении двух плоскостей получаются пары равных углов и пары смежных углов. Чтобы получить угол между плоскостями, из этих значений выбирают меньшее: если один угол равен α, то смежный равен 180° − α, и берут меньшее из двух.

Двугранный угол и его измерение

Таблица помогает сначала определить, о каком элементе идёт речь, а затем выбрать способ измерения. Для вычислений обычно находят линейный угол и переносят его величину на двугранный угол. Если рассматриваются целые плоскости, не забудьте выбрать меньший из двух смежных углов.

Разбор задач

Задача 1. В двугранном угле из точки ребра проведены перпендикулярные ребру лучи в его гранях. Угол между лучами равен 48°. Найти величину двугранного угла.

1. Луч каждого из данных лучей лежит в своей грани и перпендикулярен ребру.
2. Значит, угол между ними является линейным углом двугранного угла.
3. Величина двугранного угла равна величине линейного угла, поэтому вычислять дополнения не нужно.

Ответ: 48°.

Задача 2. Линейный угол двугранного угла равен 127°. Найти величину меньшего угла между содержащими его гранями.

1. При пересечении плоскостей линейные углы образуют пары смежных углов.
2. Второй угол равен 180° − 127° = 53°.
3. Сравниваем 127° и 53° и выбираем меньшее значение, поскольку именно оно называется углом между плоскостями.

Ответ: 53°.

Задача 3. В тетраэдре найти угол между плоскостью основания и плоскостью боковой грани, если в сечении, перпендикулярном их общему ребру, соответствующие следы образуют угол 60°.

1. Общее ребро основания и боковой грани является ребром образованного ими двугранного угла.
2. Сечение перпендикулярно этому ребру, поэтому угол между следами плоскостей является линейным углом.
3. Величина двугранного угла равна 60°. Это значение уже меньше 90°, значит, оно является и углом между плоскостями.

Ответ: 60°.

Типичные ошибки

Ошибка: называть линейным любой угол с вершиной на ребре. Её допускают, когда учитывают только положение вершины, но забывают о двух перпендикулярностях. Проверьте, лежит ли каждая сторона в своей грани и перпендикулярна ли ребру.

Ошибка: измерять двугранный угол сечением, не перпендикулярным ребру. Такое сечение даёт угол между следами, но он не обязан равняться искомой величине. Перед решением убедитесь, что секущая плоскость перпендикулярна ребру.

Ошибка: принимать за угол между плоскостями любой полученный угол. При пересечении плоскостей есть острый и тупой смежные углы, а по определению выбирают меньший. Проверьте, что итоговая величина не больше 90°.

Ошибка: путать ребро с гранями. Ребро — общая прямая, а грани — две полуплоскости по разные стороны от неё. Полезно сначала назвать прямую пересечения, а затем указать, какие полуплоскости её образуют.

Связь с другими темами

Для изучения двугранного угла нужны понятия плоскости, полуплоскости и пересекающихся прямых. Также необходимо уметь применять признаки и свойства перпендикулярности прямых и плоскостей.

Линейный угол связывает стереометрию с планиметрией. После построения такого угла можно использовать знакомые свойства углов, треугольников и перпендикулярных прямых.

Угол между плоскостями понадобится при изучении перпендикулярности плоскостей. Он часто встречается в задачах о тетраэдрах, призмах, пирамидах и других многогранниках.

Что запомнить

• Общая граничная прямая граней называется ребром двугранного угла.
• Линейный угол строят в плоскости, перпендикулярной ребру.
• Стороны линейного угла лежат в гранях двугранного угла.
• Величина двугранного угла равна величине его линейного угла.
• Угол между плоскостями — меньший из углов, образованных при их пересечении.
• Угол между плоскостями лежит в пределах от 0° до 90°.