21. Угол между прямой и плоскостью

Определения и обозначения

Угол между прямой и плоскостью — острый угол между прямой и её ортогональной проекцией на плоскость. Если прямая перпендикулярна плоскости, угол считают равным 90°. Это понятие позволяет измерить наклон прямой к плоскости.

Ортогональная проекция прямой на плоскость — прямая, содержащая проекции всех точек исходной прямой. Проекцию получают проведением перпендикуляров к плоскости. Если исходная прямая перпендикулярна плоскости, все её точки переходят в одну точку.

Проекция отрезка на плоскость — отрезок, соединяющий проекции его концов. Его длина может быть равна длине исходного отрезка или быть меньше неё. Такое сравнение помогает определить, насколько сильно отрезок наклонён к плоскости.

Угол между прямой и её проекцией обозначают, например, α и используют как угол между прямой и плоскостью. Направление прямой можно выбирать в любую сторону: меньший угол при этом не изменится. Поэтому результат всегда находится в пределах от 0° до 90°.

Как это устроено

Чтобы определить наклон прямой к плоскости, берут несколько её точек и опускают из них перпендикуляры к плоскости. Полученные основания являются проекциями исходных точек. Они лежат на одной прямой, которая и называется проекцией исходной прямой.

У исходной прямой и её проекции могут образоваться два угла: меньший и больший. Для измерения наклона выбирают меньший, потому что он не превышает 90° и одинаково описывает прямую при любом выборе её направления. Так угол между прямой и плоскостью становится однозначным.

Если прямая параллельна плоскости, её точки удалены от плоскости на одинаковое расстояние. Поэтому при проектировании направление прямой не меняется: проекция параллельна исходной прямой, а угол между ними равен 0°. Прямая, лежащая в плоскости, является частным случаем параллельного положения.

При перпендикулярности все точки прямой имеют одну и ту же проекцию — основание перпендикуляра. Обычный угол между прямой и её проекцией тогда построить нельзя, ведь проекция является точкой. Поэтому для этого особого положения угол между прямой и плоскостью по определению принимают равным 90°.

Для наклонной проведём из её точки перпендикуляр к плоскости, а второй конец соединим с основанием этого перпендикуляра. Проекция наклонной, перпендикуляр и сама наклонная образуют прямоугольный треугольник. Поэтому угол можно находить через sin, cos или tg, выбирая отношение подходящих сторон.

Положение прямой относительно плоскости и угол между ними

Сначала определите положение прямой, затем найдите соответствующую строку таблицы. Для наклонной прямой угол вычисляют по сторонам прямоугольного треугольника, а для параллельного и перпендикулярного положения ответ определяется сразу.

Разбор задач

Задача 1

Условие: Прямая параллельна плоскости. Определите угол между ними.

1. Проекция прямой на параллельную ей плоскость сохраняет направление исходной прямой.
2. Значит, прямая и её проекция параллельны, поэтому меньший угол между ними равен 0°.

Ответ: 0°.

Задача 2

Условие: Из точки прямой, не лежащей в плоскости, опущен перпендикуляр длиной 3 см. Расстояние от основания перпендикуляра до точки пересечения прямой с плоскостью равно 4 см. Найдите угол между прямой и плоскостью.

1. Обозначим угол между прямой и плоскостью через α. Перпендикуляр 3 см и отрезок в плоскости 4 см — катеты прямоугольного треугольника.
2. Для угла α противолежащий катет равен 3 см, а прилежащий — 4 см. Поэтому tg α = 3/4.
3. Отсюда α = arctg(3/4) ≈ 36,9°.

Ответ: примерно 36,9°.

Задача 3

Условие: Отрезок длиной 10 см соединяет точку вне плоскости с точкой плоскости. Перпендикулярное расстояние от первой точки до плоскости равно 6 см. Найдите угол между содержащей отрезок прямой и плоскостью, а также длину проекции отрезка.

1. Отрезок длиной 10 см — гипотенуза прямоугольного треугольника, а перпендикуляр 6 см — катет.
2. Длину проекции p найдём по теореме Пифагора: p² = 10² − 6² = 64, значит p = 8 см.
3. Для угла α используем sin α = 6/10 = 0,6. Следовательно, α ≈ 36,9°.

Ответ: длина проекции 8 см, угол примерно 36,9°.

Типичные ошибки

Угол между прямой и плоскостью путают с углом между прямой и перпендикуляром к плоскости. Первый измеряют от направления плоскости, второй — от нормального направления; их сумма равна 90°. Проверьте, какие две линии образуют указанный угол.

Иногда при перпендикулярности записывают 0°, потому что проекция прямой превращается в точку. Но это не означает нулевой наклон: по специальному определению угол равен 90°. Проверьте положение исходной прямой, а не только вид её проекции.

Ещё одна ошибка — выбор большего угла между прямой и проекцией. По определению берут меньший угол, поэтому ответ не может быть тупым. Если получилось значение больше 90°, замените его на меньший угол.

При вычислениях смешивают длину наклонной и длину её проекции. В прямоугольном треугольнике наклонная является гипотенузой, а проекция — одним из катетов. Проверьте выбранную формулу и убедитесь, что длина проекции не превышает длину исходного отрезка.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны навыки ортогонального проектирования, знание признака перпендикулярности прямой и плоскости и свойства прямоугольного треугольника. Без них трудно правильно построить проекцию и выбрать тригонометрическое соотношение.

Понятие угла между прямой и плоскостью используется при нахождении расстояний и углов в пространстве. Позже оно помогает понять и вычислять угол между плоскостями.

Что запомнить

• Угол между прямой и плоскостью — меньший угол между прямой и её ортогональной проекцией.
• Для прямой, параллельной плоскости, угол равен 0°.
• Для прямой, перпендикулярной плоскости, угол равен 90°.
• Наклонная, её проекция и перпендикуляр к плоскости образуют прямоугольный треугольник.
• Длина ортогональной проекции отрезка не больше длины самого отрезка.