15.1. Понятия сферы и шара

Определения и обозначения

Сфера — множество всех точек пространства, находящихся на одинаковом расстоянии от одной точки. Эту точку называют центром сферы, поэтому сферу можно представить как поверхность круглого тела без внутренней части. Определение позволяет проверять принадлежность точки сфере по одному условию: расстояние до центра должно быть одинаковым.

Центр сферы — точка, равноудалённая от всех точек сферы. Обычно центр обозначают буквой O. Он нужен как исходная точка для измерения расстояний и построения сечений.

Радиус сферы — расстояние от её центра до любой точки сферы. Если центр — O, а точка сферы — A, радиус можно записать как OA = R. Зная центр и радиус, можно однозначно определить положение и размер сферы.

Шар — часть пространства, ограниченная сферой и включающая все точки, расстояние до центра которых не превышает радиус. Для точки P условие принадлежности шару имеет вид OP ≤ R. Поэтому шар состоит из внутренней области и самой сферы.

Как это устроено

Сферу можно рассматривать как пространственное геометрическое место точек, то есть множество точек, заданных общим свойством. Это свойство состоит в равенстве расстояний до одной фиксированной точки — центра. Аналогично окружность на плоскости является геометрическим местом точек, равноудалённых от центра, но сфера описывает такое множество уже в трёхмерном пространстве.

Центр и радиус однозначно задают сферу, потому что для каждой точки пространства условие OP = R точно определяет, принадлежит ли она поверхности. Если центр оставить прежним, а радиус увеличить, все точки сферы окажутся дальше от центра, и поверхность станет больше. При уменьшении радиуса сфера сжимается к своему центру.

Сфера и шар отличаются тем, какие точки в них входят. У сферы расстояние до центра строго задано: оно равно R, поэтому точки с меньшим расстоянием ей не принадлежат. Шар включает и такие точки, потому что для него достаточно условия OP ≤ R: внутренняя область добавляется к границе.

Рассмотрим пересечение сферы плоскостью. Все точки пересечения лежат в одной плоскости и находятся от центра сферы на расстоянии R, но их расстояние до проекции центра на плоскость постоянно. В плоскости множество точек с таким свойством образует окружность, тогда как пересечение шара с той же плоскостью включает внутренность этой окружности и является кругом.

Пусть расстояние от центра до секущей плоскости равно d, а радиус сферы равен R. Перпендикуляр от центра к плоскости и отрезок от основания перпендикуляра до точки окружности образуют прямоугольный треугольник, поэтому r² + d² = R². Радиус сечения r максимален при d = 0, то есть когда плоскость проходит через центр; такое сечение называют большим кругом сферы.

Сравнение сферы и шара

Таблицу удобно использовать, когда нужно быстро определить, о каком объекте говорится в условии. Сначала проверьте условие для расстояния до центра, затем уточните, идёт ли речь о границе или о внутренней области. При анализе сечения также обращайте внимание, пересекается ли плоскость со сферой или с шаром.

Разбор задач

Задача 1

Дана сфера с центром O и радиусом 5 см. Точка A удалена от O на 5 см, точка B — на 3 см, точка C — на 7 см. Нужно определить принадлежность точек сфере и шару.

1. Для точки A: OA = 5 см, то есть расстояние равно радиусу. Поэтому A принадлежит сфере и шару.
2. Для точки B: OB = 3 см меньше 5 см. Точка находится внутри шара, но не на его границе, поэтому сфере она не принадлежит.
3. Для точки C: OC = 7 см больше 5 см. Точка лежит вне шара и не может принадлежать сфере.

Ответ: сфере принадлежит только A; шару принадлежат A и B.

Задача 2

Сфера имеет центр O(1; −2; 3) и проходит через A(4; 2; 3). Нужно найти радиус и проверить, принадлежит ли B(1; 1; 3) шару.

1. Радиус равен OA = √((4 − 1)² + (2 + 2)² + (3 − 3)²) = √(9 + 16) = 5.
2. Найдём расстояние OB: OB = √((1 − 1)² + (1 + 2)² + (3 − 3)²) = 3.
3. Так как 3 ≤ 5, точка B находится внутри шара и принадлежит ему. На сфере она не лежит, поскольку 3 ≠ 5.

Ответ: радиус сферы равен 5, точка B принадлежит шару.

Задача 3

Радиус сферы равен 13 см, а расстояние от её центра до секущей плоскости равно 5 см. Требуется найти радиус окружности сечения.

1. Обозначим радиус сечения через r. Перпендикуляр от центра к плоскости имеет длину 5 см.
2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна радиусу сферы, поэтому r² + 5² = 13².
3. Получаем r² = 169 − 25 = 144, откуда r = 12 см. Берём положительное значение, потому что радиус является длиной.

Ответ: радиус окружности сечения равен 12 см.

Типичные ошибки

Сферу иногда считают объёмным телом, а шар — только его поверхностью. Так происходит из-за бытового употребления слов, но в геометрии сфера — граница, а шар — граница вместе с внутренностью. Проверьте себя вопросом: учитываются ли точки, находящиеся ближе центра, чем радиус.

В определении сферы используют условие «расстояние не больше радиуса». Это условие относится к шару, тогда как для сферы необходимо равенство OP = R. Чтобы не ошибиться, замените фразу проверкой: меньшее расстояние означает внутреннюю точку шара, но не точку сферы.

Радиус сферы путают с радиусом её произвольного сечения. Радиус сферы равен R, а радиус сечения равен √(R² − d²) и зависит от расстояния d до центра. Если плоскость не проходит через центр, радиус сечения должен быть меньше R.

Иногда считают, что любое сечение сферы проходит через центр. На самом деле через центр проходят только специальные сечения, называемые большими кругами. Проверьте условие задачи: если расстояние от центра до плоскости не равно нулю, сечение не является большим.

Связь с другими темами

До изучения сферы понадобятся расстояние между точками, окружность и круг, радиус и диаметр, перпендикуляр и теорема Пифагора. Сфера является пространственным аналогом окружности, а шар — аналогом круга. Позже эти понятия пригодятся при изучении сечений многогранников и тел вращения, касательной плоскости и взаимного расположения сферы и плоскости.

Что запомнить

• Сфера состоит из точек, равноудалённых от центра.
• Шар включает сферу и все точки внутри неё.
• Для точек сферы расстояние до центра равно радиусу.
• Для точек шара расстояние до центра не превышает радиус.
• Сечение сферы плоскостью — окружность.
• Сечение шара плоскостью — круг.
• Сечение через центр имеет наибольший радиус и называется большим кругом.