"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
Шар и сфера по-разному пересекаются с плоскостью: объёмный шар даёт круг, а его поверхность — окружность. Вид сечения зависит от расстояния d от центра до плоскости и радиуса R. Если d < R, пересечение существует, а его радиус вычисляют по формуле r = √(R² − d²). При d = R плоскость касается сферы, а при d > R не пересекает её.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Шар — тело, состоящее из всех точек пространства, расстояние от которых до центра не превосходит радиус. Обозначим его центр буквой O, а радиус — R. Шар включает внутреннюю область и ограничивающую поверхность, поэтому он является объёмным телом.
Сфера — поверхность, все точки которой находятся на расстоянии R от центра O. Она ограничивает шар, но сама внутреннюю область не включает. Такое различие нужно учитывать: при пересечении шара получается заполненная фигура, а при пересечении сферы — только её граница.
Секущая плоскость — плоскость, пересекающая шар или сферу. Расстояние от центра O до этой плоскости обозначим d; оно равно длине перпендикуляра от O до плоскости. По сравнению d и R определяют, будет ли пересечение и каким оно окажется.
Круг сечения — пересечение шара с секущей плоскостью, а окружность сечения — пересечение этой плоскости со сферой. Круг содержит все точки внутри границы, а окружность состоит только из точек самой границы. Поэтому их радиусы обозначают одинаково: r.
Опустим из центра O перпендикуляр на секущую плоскость и обозначим его основание буквой H. Отрезок OH имеет длину d и является кратчайшим расстоянием от O до плоскости. Кроме того, направление OH задаёт ось симметрии сечения: точки плоскости, одинаково удалённые от H, находятся в одинаковом положении относительно шара.
Пусть d < R. Любая точка сечения шара лежит в плоскости и находится от O не дальше R, поэтому множество таких точек ограничено окружностью с центром H. Наоборот, каждая точка плоскости внутри этой окружности также удалена от O не более чем на R и принадлежит шару. Значит, пересечение шара с плоскостью является кругом.
Для сферы условие другое: её точки должны находиться от O ровно на расстоянии R. В плоскости этому условию удовлетворяют точки, удалённые от H на одно и то же расстояние r. Поэтому пересечение сферы с плоскостью образует окружность, а её центром служит H — основание перпендикуляра из O.
Возьмём любую точку A окружности сечения. Треугольник OHA прямоугольный, потому что OH перпендикулярен плоскости, а HA лежит в этой плоскости. Здесь OA = R, OH = d, HA = r, поэтому по теореме Пифагора R² = d² + r² и r = √(R² − d²).
Если d = R, подкоренное выражение равно нулю, а радиус сечения равен 0: плоскость касается сферы в точке H. Если d > R, величина R² − d² отрицательна, и реального радиуса быть не может. Следовательно, при таком положении плоскость не пересекает ни сферу, ни шар.
| Положение плоскости | Пересечение шара | Пересечение сферы | Радиус сечения |
|---|---|---|---|
| d = 0: плоскость проходит через центр | Круг | Окружность | r = R |
| 0 < d < R: плоскость пересекает сферу | Круг | Окружность | r = √(R² − d²) |
| d = R: плоскость касается сферы | Круг радиуса 0, то есть одна точка | Одна точка | r = 0 |
| d > R: плоскость не пересекает сферу | Нет пересечения | Нет пересечения | Сечение отсутствует |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала сравните расстояние d с радиусом R. Если d меньше R, применяйте формулу радиуса; если d равно R, речь идёт о касании, а при d больше R пересечения нет. При d = 0 сечение самое большое.
Радиус шара равен 5 см, расстояние от центра до плоскости — 3 см. Требуется найти радиус сечения. Поскольку 3 < 5, плоскость действительно пересекает шар кругом.
Ответ: радиус сечения равен 4 см. В прямоугольном треугольнике получились катеты 3 и 4, а гипотенуза 5.
Радиус сферы равен 13 см, радиус окружности сечения — 5 см. Нужно определить расстояние от центра сферы до плоскости. Известны гипотенуза R и один катет r прямоугольного треугольника.
Ответ: расстояние от центра до плоскости равно 12 см. Отрицательное значение корня здесь не рассматривается как геометрическая длина.
Две параллельные плоскости находятся по одну сторону от центра сферы радиуса 10 см на расстояниях 6 см и 8 см. Для каждой плоскости найдём свой радиус окружности, а затем сравним результаты. Обе плоскости пересекают сферу, потому что каждое расстояние меньше 10 см.
Ответ: радиусы окружностей равны 8 см и 6 см. Чем ближе плоскость к центру, тем больше её сечение.
Шар и сферу часто считают одним и тем же объектом. Из-за этого вместо круга называют сечение шара окружностью или наоборот. Проверьте себя: шар имеет внутренний объём, а сфера является только его поверхностью.
В теореме Пифагора иногда складывают величины неправильно или извлекают корень не из той части равенства. Правильная запись имеет вид R² = d² + r², поэтому неизвестный катет находят вычитанием: r² = R² − d². Полезно проверить результат подстановкой обратно.
Можно перепутать радиус шара R с расстоянием d до плоскости. R — постоянная длина от центра до сферы, а d зависит от положения конкретной плоскости. Перед вычислениями подпишите оба отрезка на схеме или в условии.
Некоторые считают, что пересечение существует и при d > R. Подстановка в формулу даёт отрицательное выражение под корнем, а это показывает невозможность такого сечения. При d = R остаётся только одна точка, а не окружность положительного радиуса.
Для этой темы нужны понятия шара, сферы, радиуса, перпендикуляра и расстояния от точки до плоскости. Основное вычисление опирается на теорему Пифагора для прямоугольного треугольника. Полученные знания пригодятся при изучении взаимного расположения плоскостей и сфер, а также при нахождении площадей сечений и объёмов тел.
Чем шар отличается от сферы?
Шар — это всё объёмное тело внутри границы, включая саму границу. Сфера — только поверхность шара, то есть множество точек на расстоянии R от центра.
Почему сечение шара — круг, а сечение сферы — окружность?
В сечение шара входят все точки плоскости, находящиеся от центра не дальше радиуса, поэтому получается заполненная область — круг. У сферы берутся только точки на расстоянии ровно R, поэтому получается граница круга — окружность.
Как найти радиус сечения, если известны радиус шара и расстояние до плоскости?
Используйте прямоугольный треугольник и формулу r² + d² = R². Тогда радиус сечения равен r = √(R² − d²).
Где находится центр окружности сечения?
Он находится в основании перпендикуляра, опущенного из центра сферы на секущую плоскость. Это основание является проекцией центра сферы на плоскость.
При каком расстоянии от центра плоскость не пересекает сферу?
Если расстояние d больше радиуса R, плоскость не пересекает сферу. При d = R есть ровно одна общая точка — точка касания.
15.2. Пересечение шара и сферы с плоскостью
