"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
Сфера — поверхность, все точки которой равноудалены от центра, а шар включает эту поверхность и внутреннюю область. Плоскость может не пересекать сферу, касаться её в одной точке или пересекать по окружности. Главный критерий определяется расстоянием от центра до плоскости: если оно равно радиусу, происходит касание. Радиус в точку касания перпендикулярен плоскости, что помогает доказывать касание и решать задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сфера — поверхность, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии R от центра O. Шар содержит сферу и все точки внутри неё. Это различие нужно, чтобы не путать границу тела с самим телом.
Касание сферы плоскостью — ситуация, когда плоскость и сфера имеют ровно одну общую точку. Такая точка обозначается, например, A, и называется точкой касания. Условие касания позволяет определить положение плоскости по расстоянию от центра до неё.
Касательная плоскость к сфере — плоскость, имеющая со сферой единственную общую точку. Если общей точкой является A, говорят, что плоскость касается сферы в точке A. Это понятие используется для построения плоскости и доказательства её положения.
Касание шара плоскостью означает, что плоскость имеет с шаром одну общую точку, причём эта точка лежит на его границе. Внутрь шара плоскость при таком положении не проходит. Поэтому условие для шара совпадает с условием касания сферы.
Пусть d — расстояние от центра O сферы до плоскости, а R — её радиус. Если d больше R, даже ближайшая к плоскости точка сферы находится дальше плоскости, поэтому общих точек нет. Если d равно R, ближайшая точка ровно одна и плоскость касается сферы. Если d меньше R, плоскость проходит через сферу, а общие точки образуют окружность.
При касании опустим из O перпендикуляр на плоскость и обозначим его основание A. Перпендикуляр является кратчайшим расстоянием от O до плоскости, поэтому OA = d. Так как плоскость касается сферы, A лежит на сфере, а значит, OA является радиусом и OA = R; следовательно, d = R.
Радиус OA перпендикулярен касательной плоскости, потому что отрезок OA — перпендикуляр от центра к этой плоскости. Любая другая точка плоскости находится от O дальше, чем основание перпендикуляра. Поэтому она не может лежать на сфере, где расстояние до O должно быть ровно R.
Верно и обратное утверждение. Если плоскость проходит через точку A сферы и OA перпендикулярен этой плоскости, то расстояние от O до плоскости равно OA = R. Все остальные точки плоскости удалены от O больше чем на R, поэтому на сфере общей остаётся только точка A.
Для шара рассуждение такое же: при d = R плоскость достигает его границы только в точке A. Внутренней точки шара на плоскости быть не может, поскольку для неё расстояние до O было бы меньше R, а плоскость находится от O на расстоянии R. При d < R плоскость уже проходит через внутренность шара.
| Условие по расстоянию d от центра до плоскости | Сфера | Шар |
|---|---|---|
| d больше радиуса | Общих точек нет | Общих точек нет |
| d равно радиусу | Одна общая точка, касание | Одна общая точка, касание |
| d меньше радиуса | Пересечение по окружности | Пересечение по кругу |
| Общее свойство при касании | d = R; радиус в точку касания перпендикулярен плоскости | |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала обозначьте радиус R и найдите расстояние d от центра до плоскости. Затем сравните d и R, а по соответствующей строке определите число общих точек и вид пересечения.
Помните: окружность относится к поверхности сферы, а круг — к плоской части шара. При равенстве d и R оба объекта имеют с плоскостью только одну общую точку.
Условие: радиус сферы равен 5 см, расстояние от её центра до плоскости равно 5 см. Определить взаимное положение сферы и плоскости.
Ответ: плоскость касается сферы.
Условие: сфера радиуса 13 см касается плоскости в точке A. Расстояние от центра сферы до точки A равно 13 см. Найти расстояние от центра до плоскости и обосновать положение.
Ответ: расстояние равно 13 см; плоскость касается сферы в точке A.
Условие: точка A сферы с центром O и радиусом 10 см лежит в плоскости α, причём OA перпендикулярен α. Доказать касание и определить положение шара.
Ответ: α касается сферы и шара в точке A; шар лежит по одну сторону от плоскости и не имеет с ней внутренних общих точек.
Ошибка: считать, что касательная плоскость содержит центр сферы. Если центр лежит в плоскости, расстояние d равно нулю и меньше радиуса, поэтому пересечение идёт по окружности. Проверяйте себя сравнением d и R.
Ошибка: путать радиус с расстоянием от центра до плоскости. Радиус — любой отрезок от центра до сферы, а расстояние до плоскости — длина перпендикуляра. При касании они равны, но только потому, что этот радиус направлен к точке касания.
Ошибка: утверждать, что радиус в точку касания параллелен плоскости. На самом деле он перпендикулярен ей, иначе точка не была бы ближайшей к центру. Проверьте направление отрезка: он должен образовывать прямой угол с плоскостью.
Ошибка: переносить свойства сферы на шар без уточнения. Сфера даёт окружность при пересечении, а шар — круг, поскольку включает внутренность. В условии сначала определите, идёт ли речь о границе или о всём теле.
Для этой темы нужно знать расстояние от точки до плоскости. Оно измеряется длиной перпендикуляра, потому что перпендикуляр является кратчайшим отрезком от точки до плоскости.
Также понадобится теорема о перпендикуляре и понятие радиуса сферы. Они связывают геометрическое положение плоскости с равенством d = R.
Знания применяются в задачах о сечениях шара плоскостью, взаимном расположении тел и построении касательных плоскостей. По расстоянию до центра можно заранее определить вид пересечения.
Как понять, касается ли плоскость сферы?
Найдите расстояние d от центра сферы до плоскости и сравните его с радиусом R. При d = R плоскость касается сферы в одной точке; при d < R она пересекает сферу по окружности.
Почему радиус в точку касания перпендикулярен плоскости?
Перпендикуляр от точки к плоскости является кратчайшим отрезком до неё. При касании ближайшая точка сферы к плоскости — точка касания, поэтому радиус к ней совпадает с таким перпендикуляром.
Может ли касательная плоскость проходить через центр сферы?
Нет. Если плоскость проходит через центр, расстояние от центра до неё равно нулю и меньше радиуса. Поэтому она пересекает сферу по большой окружности.
Чем касание шара отличается от касания сферы?
Сфера — только граница шара, а шар содержит ещё и внутренние точки. При расстоянии, равном радиусу, плоскость имеет с каждым из них одну общую точку, но при меньшем расстоянии она пересекает шар по кругу, а сферу — по окружности.
Как определить, пересекает ли плоскость сферу по окружности?
Сравните расстояние d от центра до плоскости с радиусом R. Если d < R, пересечение есть и оно является окружностью; её центр — основание перпендикуляра из центра сферы на плоскость.
15.3. Касание шара и сферы с плоскостью
