15.4. Вид и изображение шара

Определения и обозначения

Шар — множество точек пространства, расстояние от которых до заданной точки не превосходит заданного радиуса. Иначе говоря, шар включает все точки внутри границы и точки самой границы. Это определение позволяет проверять положение точки по её расстоянию до центра.

Сфера — поверхность, состоящая из точек, удалённых от центра на расстояние, равное радиусу шара. Сфера не содержит внутренние точки тела. Она нужна, чтобы описывать границу шара и положение точек на его поверхности.

Центр шара обычно обозначают буквой O, а радиус — буквой R. Радиусом называют отрезок от центра до любой точки сферы, поэтому для точки M на сфере OM = R. Все такие отрезки имеют одну и ту же длину.

Изображение шара — условный чертёж, который передаёт форму тела и показывает его основные элементы. На плоскости шар изображают кругом, поскольку его проекция заполняет круг, а контуром служит окружность. Такой рисунок не является самим пространственным телом.

Как это устроено

Шар состоит из внутренней области вместе со сферой, потому что в его определении разрешено расстояние до центра не только равное радиусу, но и меньшее. Сфера возникает при точном равенстве этого расстояния радиусу. Поэтому шар можно представить как «заполненную» сферу, а сферу — как её внешнюю оболочку.

Все точки сферы равноудалены от центра: это непосредственно следует из условия OM = R для любой точки M сферы. Точка, находящаяся внутри шара, имеет расстояние до центра меньше R, поэтому она не принадлежит сфере. Если расстояние больше R, точка лежит уже вне шара.

При проецировании шара на плоскость каждая его точка получает точку-образ на этой плоскости. Крайние образы точек образуют окружность, а внутренние образы заполняют область внутри неё. Поэтому контур шара на плоскости выглядит как окружность, а весь его условный вид — как круг.

Чтобы передать объёмность, на чертеже отмечают центр, проводят радиус к точке поверхности и иногда добавляют дуги или линии, показывающие направление и форму тела. Часть элементов может быть скрыта выбранным направлением наблюдения, поэтому её изображают условно, например штриховой линией. Нужно отличать видимые линии от вспомогательных: рисунок помогает рассуждать о шаре, но не превращает его в плоскую фигуру.

Шар, сфера и их изображение

Сначала определите, идёт ли речь обо всём теле, его поверхности, центре или отрезке. Затем используйте условие OM = R для сферы, OM < R для внутренней точки и сравнивайте обозначения с рисунком.

Разбор задач

Задача 1

Дан шар с центром O и радиусом 5 см. Нужно определить, лежит ли точка A на сфере, если OA = 5 см, и находится ли точка B внутри шара, если OB = 3 см. В обеих частях сравним расстояние до центра с радиусом.

1. Для точки A получаем OA = 5 см, то есть OA равно радиусу шара.
2. По определению сферы точка с таким расстоянием от O лежит на сфере.
3. Для точки B имеем OB = 3 см, а 3 см меньше 5 см, поэтому B находится внутри шара.

Ответ: точка A лежит на сфере, точка B находится внутри шара. Равенство расстояния радиусу означает поверхность, а меньшее значение — внутреннюю область.

Задача 2

Требуется изобразить шар с центром O и отметить радиус, проведённый к точке M на его поверхности. Рисунок должен показать и тело, и связь радиуса с центром. Точку M выбираем на условной окружности, изображающей сферу.

1. Изобразите круг и обозначьте внутри него точку O — центр шара.
2. Выберите точку M на контуре круга, поскольку контур представляет сферу.
3. Проведите отрезок OM и подпишите его как радиус: OM = R.

Ответ: радиусом является отрезок OM, соединяющий O с точкой M сферы. На чертеже он может выглядеть не так, как в пространстве, но его смысл сохраняется.

Задача 3

На изображении шара отмечены центр O и точки A и B, причём OA = 4 см и OB = 4 см. Нужно объяснить положение точек и изобразить соответствующий радиус. Для окончательного вывода используем не только равенство расстояний, но и значение радиуса шара.

1. Равенства OA = OB показывают, что точки находятся на одинаковом расстоянии от центра O.
2. Если радиус шара равен 4 см, то OA = R и OB = R.
3. Следовательно, обе точки лежат на сфере, а отрезки OA и OB являются радиусами.
4. На рисунке достаточно провести оба отрезка от O к точкам A и B и отметить их равенство.

Ответ: при радиусе 4 см точки A и B принадлежат сфере. Если радиус в условии не указан и не следует из изображения, можно утверждать только, что они равноудалены от O; принадлежность сфере требует сравнения с R.

Типичные ошибки

Шаром называют только поверхность. Так происходит из-за привычного изображения в виде контура. Проверьте себя: если рассматриваются и внутренние точки, речь идёт о шаре, а не только о сфере.

Любую точку внутри шара относят к сфере. Ошибка появляется, когда не различают «меньше» и «равно». Измерьте расстояние до центра: для сферы оно должно точно совпадать с радиусом.

Круг на чертеже принимают за настоящий плоский шар. Плоский круг — лишь проекция или условное изображение пространственного тела. Проверьте, не описывается ли в задаче объём и не требуется ли учитывать скрытые линии.

Любую точку внутри рисунка считают центром. Центр не определяется одним фактом нахождения внутри изображения. Ищите специальное обозначение O или используйте данные условия о равных расстояниях до поверхности.

Связь с другими темами

До изучения шара нужны понятия расстояния между точками, окружности, круга и радиуса. Они помогают понимать запись OM = R и отличать поверхность от области, которую она ограничивает.

Понятия шара и сферы используются при изучении сечений шара плоскостью, касательной плоскости и взаимного расположения тел. В этих темах снова сравнивают расстояния до центра и радиус.

Что запомнить

• Шар включает внутренние точки и свою поверхность.
• Сфера — поверхность шара.
• Расстояние от центра шара до любой точки сферы равно радиусу.
• Точка внутри шара находится от центра на расстоянии меньше радиуса.
• На плоском чертеже шар условно изображают кругом.
• Изображение передаёт форму тела, но не является самим шаром.