15.5. Симметрия сферы и шара

Определения и обозначения

Центральная симметрия относительно точки переводит каждую точку фигуры в точку по другую сторону от этой точки, на таком же расстоянии. Если фигура при таком преобразовании совмещается сама с собой, точка называется её центром симметрии. Для сферы и шара таким центром является их собственный центр.

Ось симметрии — прямая, при вращении вокруг которой фигура совмещается сама с собой. У сферы и шара осью служит любая прямая, проходящая через центр фигуры. Это определение помогает отличать настоящие оси симметрии от произвольных прямых.

Плоскость симметрии — плоскость, при отражении относительно которой фигура совмещается сама с собой. У сферы и шара плоскостью симметрии является любая плоскость через центр. Это понятие позволяет описывать отражение фигуры в пространстве.

Сфера — множество точек пространства, равноудалённых от заданной точки, называемой центром сферы. Расстояние от центра до любой точки сферы есть её радиус. Шар состоит из сферы и всех точек внутри неё, поэтому сфера — только поверхность, а шар — поверхность вместе с внутренней областью.

Как это устроено

Пусть центр сферы или шара — точка O, а точка фигуры — A. При центральной симметрии относительно O точка A переходит в точку A′ так, что O находится посередине отрезка AA′, а OA = OA′. Значит, расстояние новой точки до O остаётся тем же. Для сферы это означает, что A′ тоже лежит на поверхности; для шара сохраняется условие, что расстояние до центра не превышает радиус.

Рассмотрим прямую через центр и вращение вокруг неё. При таком вращении центр O остаётся на месте, а расстояние каждой точки до O не меняется, потому что вращение сохраняет расстояния. Следовательно, каждая точка сферы снова попадает на сферу, а точки шара остаются внутри или на его поверхности. Поэтому фигура после вращения занимает ровно прежнее место.

Отражение относительно плоскости через центр тоже сохраняет расстояния до O. Чтобы увидеть причину, можно рассмотреть перпендикуляр из точки к плоскости: отражённая точка оказывается на продолжении этого перпендикуляра на таком же расстоянии от плоскости. Поскольку плоскость проходит через O, центр остаётся неподвижным, и расстояние до него для точки и её отражения одинаково. Значит, отражение переводит сферу в себя, а шар — в себя.

У прямой или плоскости, не проходящей через центр, нужного свойства нет. Вращение вокруг прямой, не проходящей через O, обычно перемещает центр: он описывает окружность вокруг оси, а значит, сфера или шар уже не могут занять прежнее положение. При отражении относительно плоскости вне центра точка O переходит в другую точку. Центр исходной фигуры не совпадает с центром её образа, поэтому фигуры не совмещаются.

Сфера и шар имеют одинаковые центр, оси и плоскости симметрии, хотя сами фигуры различаются. Сфера содержит только точки на расстоянии, равном радиусу, а шар — также точки на меньшем расстоянии. Рассмотренные преобразования сохраняют расстояние до центра, поэтому отдельно сохраняют и поверхность, и внутреннюю область. Именно поэтому перечисленные симметрии совпадают у обеих фигур.

Симметрии сферы и шара

В таблице сравниваются три вида симметрии, а не размеры фигур. Чтобы определить, является ли прямая осью или плоскость плоскостью симметрии, проверь, проходит ли она через центр. Если условие выполнено, ответ для сферы и шара одинаков.

Разбор задач

Задача 1

Назовите центр симметрии сферы радиуса 5 см с центром O. Радиус задаёт расстояние от центра до точек поверхности. Для поиска центра симметрии важно не значение радиуса, а положение центра фигуры.

1. Вспоминаем, что при центральной симметрии относительно центра точки переходят в точки по другую сторону на таком же расстоянии.
2. У сферы центр симметрии совпадает с её геометрическим центром. В условии этот центр обозначен буквой O.
3. Радиус 5 см не меняет расположения центра и для ответа не требуется вычислений.

Ответ: точка O. Она является центром симметрии сферы, хотя сама на её поверхности не лежит.

Задача 2

Через центр шара проведены прямая l и плоскость α. Определите, являются ли они осью и плоскостью симметрии шара. Здесь важно раздельно проверить прямую и плоскость: для них используются разные преобразования. Оба условия задачи говорят, что объекты проходят через центр шара.

1. Для прямой проверяем условие осевой симметрии: вращение вокруг неё должно сохранять шар. Всякая прямая через центр шара является его осью.
2. Поскольку l проходит через центр, она удовлетворяет этому условию и является осью симметрии.
3. Для плоскости проверяем условие отражательной симметрии. Всякая плоскость через центр является плоскостью симметрии, поэтому α подходит.

Ответ: l — ось симметрии, а α — плоскость симметрии шара. Каждое заключение следует из того, что соответствующий объект проходит через центр.

Задача 3

Прямая l касается сферы с центром O, но не проходит через O. Может ли она быть осью симметрии сферы? Касательная касается сферы в одной точке, но это само по себе не задаёт симметрию. Сопоставим прямую с необходимым условием для оси.

1. Ось симметрии сферы — прямая, вращение вокруг которой оставляет сферу на месте.
2. Для сферы такая ось должна проходить через её центр. Это можно проверить, представив, что при вращении вокруг оси центр должен остаться неподвижным.
3. По условию l не проходит через O. При вращении вокруг неё центр перемещался бы, поэтому сфера не совмещалась бы сама с собой.

Ответ: нет, l не может быть осью симметрии этой сферы. Она является касательной, но не проходит через центр O.

Типичные ошибки

Считать любую прямую осью симметрии — ошибка: осью сферы или шара служит только прямая через центр. Так рассуждают, когда забывают, что вращение должно оставить фигуру на прежнем месте. Проверь себя: при вращении центр должен оставаться неподвижным, а это верно для прямой через него.

Считать любую плоскость плоскостью симметрии тоже неверно. Часто отражение мысленно заменяют поворотом или считают, что любая плоскость делит фигуру на равные части, но равенства недостаточно для симметрии. Проверь, проходит ли плоскость через центр: если нет, отражение переместит центр.

Путать сферу и шар — значит смешивать поверхность и объёмную фигуру. Это происходит потому, что в обычной речи слова иногда используют как близкие по смыслу, но в геометрии они обозначают разные множества точек. Для проверки спроси себя, включены ли внутренние точки: у сферы их нет, у шара они есть.

Называть центр симметрии точкой на поверхности — ошибка, связанная с тем, что слово «центр» воспринимают как часть контура. Сфера состоит из точек на расстоянии радиуса от центра, поэтому центр в неё не входит. Проверь это по определению: расстояние от центра до самого себя равно нулю, а радиус положителен.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в симметриях, нужно знать определения сферы, шара, центра и радиуса. Также понадобятся представления о центральной симметрии, отражении относительно плоскости и вращении вокруг прямой. Они помогают понять, какое преобразование описывает каждый вид симметрии и почему фигура сохраняется.

Симметрии сферы и шара пригодятся при изучении сечений и взаимного расположения геометрических тел. Если фигура сохраняется при преобразовании, это часто позволяет упростить доказательство или построение: соответствующие точки оказываются в равных положениях. Поэтому умение распознавать центр, оси и плоскости симметрии полезно во многих задачах стереометрии.

Что запомнить

• Центр сферы и шара является центром симметрии.
• Любая прямая через центр — ось симметрии сферы и шара.
• Любая плоскость через центр — плоскость симметрии сферы и шара.
• Ось или плоскость симметрии сферы и шара проходит через центр.
• Сфера и шар имеют одинаковые центр, оси и плоскости симметрии.