15.6. Шар и расстояние от точки до фигуры

Определения и обозначения

Шар — часть пространства, состоящая из точек, расстояние от которых до заданного центра не больше заданного радиуса. Если центр — O, радиус — R, а точка — X, то условие принадлежности шару записывают так: OX ≤ R. Это определение позволяет проверить, находится ли точка внутри шара или на его границе.

Сфера — граница шара, то есть множество точек, расстояние от которых до центра равно радиусу: OX = R. В отличие от шара сфера не включает точки внутри себя. Такое равенство задаёт именно поверхность, отделяющую внутреннюю часть шара от пространства вокруг него.

Радиус шара — расстояние от его центра до любой точки сферы. Его обычно обозначают R; все отрезки от центра до сферы имеют одинаковую длину. Радиус нужен, чтобы описать размер шара и сравнить расстояние от другой точки до центра с границей.

Расстояние от точки до фигуры — наименьшее расстояние от этой точки до точек фигуры. Если точка уже принадлежит фигуре, расстояние равно нулю: ближайшей точкой является она сама. Это определение помогает не путать расстояние до фигуры с расстоянием до её центра.

Как это устроено

Условие OX ≤ R включает две ситуации: точка находится на расстоянии меньше радиуса или ровно на расстоянии радиуса от центра. В первом случае она лежит внутри шара, во втором — на его границе. Если же OX > R, точка расположена вне шара и не принадлежит ему. Поэтому одно неравенство задаёт всю внутреннюю область вместе с границей.

Пусть точка A находится на расстоянии d от центра шара радиуса R. Когда d ≤ R, точка принадлежит шару, поэтому расстояние от A до шара равно нулю. Когда d > R, точка расположена снаружи: ближайшая граница отстоит от неё на d − R. Вычитание работает потому, что центр, ближайшая точка шара и A лежат на одной прямой, а расстояния до центра и до границы отличаются на радиус.

Для сферы нужно найти ближайшую точку именно на её поверхности. Если точка внутри сферы, отрезок от центра к ней продолжают до поверхности; расстояние равно R − d. Если точка снаружи, ближайшая точка поверхности находится между ней и центром, а расстояние равно d − R. Оба случая объединяет формула |d − R|, где модуль делает результат неотрицательным.

Расстояние до фигуры — это минимум расстояний до всех её точек, а не расстояние до произвольно выбранного места. Если ближайшее положение точки фигуры уже известно, достаточно найти длину отрезка от исходной точки до неё. Выбирать минимум необходимо, потому что к другим точкам фигуры можно провести более длинные отрезки. Для шара этот минимум равен нулю, если исходная точка принадлежит ему.

Если точка A лежит вне шара, центр O и A задают направление к ближайшей части шара. На отрезке AO находится точка сферы, ближайшая к A: любой путь к другой точке шара длиннее, что следует из неравенства треугольника. Для сферы ближайшая точка лежит на луче из O через A; при точке внутри сферы луч продолжают за A, а при точке снаружи поверхность находится между O и A. Для точки внутри самого шара утверждение об отрезке как о ближайшем положении не требуется: расстояние до шара уже нулевое.

Шар и сфера: определения и расстояние от точки

Сначала определите, о какой фигуре спрашивают: для шара внутренние точки считаются частью фигуры, для сферы — нет. Затем сравните расстояние d до центра с радиусом R и выберите строку таблицы. Формула для сферы может быть записана короче: |d − R|.

Разбор задач

Задача 1. Радиус шара равен 5 см. Точка находится на расстоянии 8 см от его центра. Найдите расстояние от точки до шара.

1. Обозначим радиус R = 5 см, а расстояние до центра d = 8 см. Требуется расстояние до шара, поэтому сначала проверим, принадлежит ли точка шару.
2. Сравним величины: 8 > 5. Значит, точка находится вне шара, а расстояние до ближайшей точки шара равно разности расстояния до центра и радиуса.
3. Вычислим: 8 − 5 = 3 см. Вычитание показывает, сколько остаётся от пути до центра после того, как учтён радиус.

Ответ: 3 см.

Задача 2. Радиус сферы равен 7 см. Расстояние от точки до центра сферы равно 3 см. Найдите расстояние от точки до сферы.

1. Здесь дана сфера, а не шар, поэтому точка внутри не принадлежит фигуре. Имеем R = 7 см и d = 3 см.
2. Так как d < R, точка лежит внутри сферы. Ближайшая точка сферы находится на луче из центра через данную точку, после неё, поэтому расстояние составляет R − d.
3. Подставим значения: |3 − 7| = 4 см. Модуль позволяет использовать формулу независимо от того, находится точка внутри сферы или снаружи.

Ответ: 4 см.

Задача 3. Дан шар радиуса 4 см с центром O и точка A, для которой OA = 10 см. Точка B лежит на отрезке OA, причём AB = 3 см. Найдите расстояние от B до шара.

1. Нельзя сразу сравнить радиус с OA: нужно узнать расстояние именно от B до центра. Поскольку B находится на отрезке OA, расстояния связаны равенством OB = OA − AB.
2. Вычислим OB = 10 − 3 = 7 см. Сравним с радиусом шара: 7 > 4, следовательно, B расположена вне шара.
3. Для внешней точки расстояние до шара равно разности OB и радиуса: 7 − 4 = 3 см. Положение B на отрезке OA позволяет использовать вычитание, а не сложение.

Ответ: 3 см.

Типичные ошибки

Ошибка: считать шар и сферу одним и тем же. Шар включает внутренние точки, а сфера состоит только из граничных точек, поэтому условия d ≤ R и d = R различаются. Путаница возникает из-за того, что в речи эти слова иногда используют неточно. Проверьте себя: точка с d < R принадлежит шару, но не сфере.

Ошибка: для точки внутри шара вычитать её расстояние до центра из радиуса. Такое вычисление даёт расстояние до сферы, но не до шара. Ошибку допускают, когда забывают, что внутренняя точка уже принадлежит шару. Проверка проста: если точка принадлежит фигуре, расстояние до неё должно быть нулём.

Ошибка: забывать модуль в формуле расстояния до сферы. Разность d − R отрицательна, если точка внутри, а расстояние не может быть меньше нуля. Модуль учитывает оба положения точки относительно поверхности. Для проверки подставьте отдельно d < R и d > R: результат должен быть положительным или нулевым.

Ошибка: принимать расстояние до центра за расстояние до фигуры. Центр шара не обязан быть ближайшей точкой шара к внешней точке; до ближайшей границы нужно пройти лишь часть пути к центру. Такое упрощение возникает, когда в условии явно указан центр. Проверьте ответ сравнением: расстояние до шара снаружи равно d − R, а не d.

Связь с другими темами

Чтобы изучать расстояния до шара и сферы, нужно уметь находить расстояние между точками и пользоваться свойствами отрезка и луча. Неравенство треугольника объясняет, почему кратчайший путь к шару или сфере проходит по направлению к ближайшей точке, а обходной путь не может быть короче. Эти знания пригодятся при решении задач о взаимном расположении шаров, плоскостей и прямых, а также при нахождении расстояний в пространстве.

Что запомнить

• Шар состоит из точек, удалённых от центра не более чем на радиус.
• Сфера состоит из точек, удалённых от центра ровно на радиус.
• Точка внутри шара принадлежит шару, поэтому расстояние от неё до шара равно нулю.
• Для точки вне шара расстояние до шара равно расстоянию до центра минус радиус.
• Расстояние от точки до сферы равно модулю разности расстояния до центра и радиуса.
• Для точки на сфере расстояние до сферы равно нулю.