"Геометрия", Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А.
Сечение параллелепипеда — многоугольник, полученный при пересечении его объёма секущей плоскостью. Его стороны находятся в гранях, а вершины — на рёбрах или вершинах параллелепипеда. Чтобы построить сечение, проводят следы плоскости на гранях по известным точкам, переходят через общие рёбра и используют параллельность противоположных граней. В конце проверяют, что стороны образуют единый замкнутый многоугольник.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Секущая плоскость — плоскость, пересекающая параллелепипед. Рассматривают не всю бесконечную плоскость, а её пересечение с гранями и объёмом тела. Это помогает понять, какая часть плоскости образует сечение.
Сечение параллелепипеда — многоугольник, по которому секущая плоскость пересекает параллелепипед. Он состоит из отрезков, лежащих на гранях тела. По этому многоугольнику изображают результат пересечения.
След секущей плоскости на грани — отрезок пересечения секущей плоскости с плоскостью грани. Иными словами, это часть общей линии, ограниченная рёбрами данной грани. След показывает, где именно проходит сечение по этой грани.
Линия пересечения плоскостей — прямая, общая для секущей плоскости и плоскости грани. На самой грани эта прямая даёт след, поэтому для построения достаточно найти её участок внутри грани. Такой подход связывает пространственную задачу с обычным построением прямой по двум точкам.
Сечение является многоугольником, потому что параллелепипед ограничен конечным числом плоских граней. На каждой грани общая часть с секущей плоскостью — отрезок, а не произвольная кривая. Концы этих отрезков находятся на рёбрах или совпадают с вершинами параллелепипеда, поэтому отрезки соединяются в многоугольник.
Если известны две точки секущей плоскости на одной грани, через них проводят прямую. Она лежит и в секущей плоскости, и в плоскости грани, значит, её участок внутри грани является искомым следом. Точки нельзя брать случайно: если хотя бы одна не принадлежит грани или секущей плоскости, построенная прямая не описывает нужное пересечение.
После построения следа нужно перейти на соседнюю грань. След пересекает общее ребро двух граней в точке, которая принадлежит и первой, и соседней грани. Эту точку используют на новой грани вместе с другой известной точкой или точкой, найденной на следующем ребре, поэтому построение продолжается без разрыва.
Противоположные грани параллелепипеда лежат в параллельных плоскостях. Если одна секущая плоскость пересекает обе эти грани, линии её пересечения с ними параллельны. Поэтому иногда не нужно заново искать две точки: на противоположной грани можно провести след параллельно уже известному, если положение обеих граней действительно пересекается секущей плоскостью.
Проверка нужна, чтобы не принять отдельные отрезки за готовое сечение. Стороны должны идти по соседним граням, последовательно соединяться через рёбра и замыкаться. Кроме того, все они должны быть частями одной секущей плоскости, а не линиями, проведёнными независимо на разных гранях.
| Что известно | Как построить след | Почему это верно |
|---|---|---|
| Две точки секущей плоскости на одной грани | Соединить точки прямой и взять её отрезок внутри грани. | Общая линия двух плоскостей проходит через обе точки. |
| Точка следа и направление следа на грани | Провести через точку прямую в указанном направлении и ограничить её гранью. | Прямая задаёт линию пересечения, а граница грани выделяет нужный отрезок. |
| След на одной грани и переход через общее ребро | Найти точку пересечения следа с общим ребром и продолжить построение на соседней грани. | Общее ребро принадлежит обеим граням, поэтому найденная точка подходит для обеих. |
| След на грани и противоположная ей параллельная грань | На противоположной грани провести существующий след параллельно известному. | Пересечения одной плоскости с двумя параллельными плоскостями параллельны. |
Сначала определите, какие данные относятся к одной грани, и только потом проводите прямую. В последней строке таблицы обязательно убедитесь, что секущая плоскость действительно пересекает противоположную грань. После каждого построения ограничивайте линию рёбрами грани.
В параллелепипеде заданы три различные точки на рёбрах. Требуется построить сечение плоскостью, проходящей через эти точки.
Ответ: искомое сечение — замкнутый многоугольник, стороны которого являются построенными следами на гранях.
Даны две точки на одной грани и третья точка на ребре соседней грани. Нужно построить сечение и указать все его вершины.
Ответ: вершинами сечения являются заданные точки и все найденные точки пересечения следов с рёбрами.
Секущая плоскость проходит через точки на рёбрах, принадлежащих разным граням. Требуется построить полное сечение, используя параллельность противоположных граней.
Ответ: полное сечение получают объединением следов на всех пересечённых гранях; его вершины лежат на рёбрах параллелепипеда.
След проводят через точки, которые не лежат на одной грани. Такая ошибка возникает из-за невнимательного просмотра рёбер: две точки могут быть связаны пространственно, но не принадлежать одной грани. Проверьте название грани и убедитесь, что обе точки находятся на её границе или внутри неё.
Линию пересечения продолжают за пределы грани и считают весь полученный луч стороной сечения. Это происходит, когда забывают, что сторона ограничена рёбрами параллелепипеда. Оставляйте только тот отрезок, который находится внутри грани.
Считают, что следы на любых противоположных гранях существуют и параллельны. Параллельность применима лишь к двум реально пересечённым параллельным граням. Сначала проверьте, доходит ли секущая плоскость до каждой из них.
Останавливаются после нескольких отрезков, не проверяя замыкание. Отдельные правильные следы ещё не образуют сечение, если между ними есть разрыв или лишний отрезок. Обойдите многоугольник по порядку и убедитесь, что последняя вершина соединяется с первой.
Для построения сечений нужны свойства параллелепипеда: параллельность его противоположных граней и рёбер, а также правила взаимного расположения прямых и плоскостей. Без этих сведений трудно определить, где проводить след и как переходить между гранями.
Задача опирается на аксиомы стереометрии о пересечении плоскостей. Освоенный способ затем применяется при построении сечений других многогранников, где также используют общие рёбра и линии пересечения плоскостей.
Тема связана с изображением пространственных фигур на плоском чертеже. При оформлении нужно учитывать, какие грани видимы, а какие скрыты, и соответственно показывать видимые и невидимые части сечения.
Почему для построения следа на грани нужны две точки?
Две различные точки однозначно задают прямую, а след секущей плоскости на грани является частью такой прямой. Обе точки должны принадлежать и данной грани, и секущей плоскости.
Как понять, на какую соседнюю грань продолжать построение?
Нужно посмотреть, через какое общее ребро след выходит с текущей грани. Следующая грань должна содержать это ребро, поэтому на ней можно продолжить линию пересечения.
Можно ли проводить сторону сечения через внутренность параллелепипеда?
Нет, сторона сечения лежит в плоскости одной грани и ограничена её рёбрами. Внутри параллелепипеда находится само сечение, но его стороны не проходят произвольно через объём.
Всегда ли следы на противоположных гранях параллельны?
Да, если секущая плоскость пересекает обе противоположные параллельные грани и оба следа существуют. Линии пересечения одной плоскости с двумя параллельными плоскостями параллельны.
Как проверить, что построенное сечение замкнуто и правильно?
Стороны должны последовательно соединяться через общие рёбра и в конце вернуться к первой вершине. Каждая сторона должна лежать в грани, а все стороны — принадлежать одной секущей плоскости.
115. Построение сечений параллелепипеда
