34. Усеченная пирамида

Определения и обозначения

Усечённая пирамида — часть пирамиды между её основанием и сечением плоскостью, параллельной основанию. Иначе говоря, от пирамиды мысленно отсекают верхушку параллельным основанию сечением и рассматривают оставшееся тело. Это определение помогает отличить усечённую пирамиду от произвольной части пирамиды.

Основания усечённой пирамиды — два подобных многоугольника в параллельных плоскостях; нижнее является частью основания исходной пирамиды, верхнее — сечением. Подобие означает, что соответствующие углы равны, а стороны пропорциональны. Это свойство позволяет находить неизвестные длины одного основания по другому.

Боковые грани усечённой пирамиды — трапеции, полученные из треугольных боковых граней исходной пирамиды. Одна пара сторон каждой такой трапеции параллельна, потому что одна из них лежит в плоскости сечения, параллельной основанию. По форме граней можно понять, как устроена боковая поверхность тела.

Высота усечённой пирамиды — расстояние между плоскостями её оснований. Это длина перпендикуляра, опущенного из одной плоскости оснований на другую, а не наклонного отрезка на боковой поверхности. Такое обозначение нужно, чтобы не спутать высоту с боковым ребром или апофемой.

Как это устроено

Чтобы получить усечённую пирамиду, через боковые рёбра исходной пирамиды проводят плоскость, параллельную основанию, и берут часть между этой плоскостью и основанием. Плоскость пересекает все боковые грани, но не меняет направление основания: они остаются параллельными. Поэтому верхнее сечение можно считать новым основанием, а отрезанную верхушку — меньшей пирамидой, подобной исходной.

Основания подобны именно потому, что верхнее основание является сечением исходной пирамиды плоскостью, параллельной её основанию. Параллельные плоскости отсекают на боковых рёбрах пропорциональные отрезки, а сечение сохраняет форму основания. Поэтому соответствующие углы равны, а соответствующие стороны верхнего и нижнего многоугольников имеют один коэффициент подобия. Стороны, которые соответствуют друг другу, также параллельны.

Каждая боковая грань исходной пирамиды — треугольник. Плоскость сечения пересекает этот треугольник по отрезку, параллельному его стороне, лежащей в основании; часть треугольника ниже сечения и становится трапецией. Параллельность этой пары сторон и задаёт главное свойство трапеции. Поэтому после срезания вершины боковые грани уже нельзя называть треугольниками.

Боковая поверхность складывается из всех трапеций, образованных таким сечением. У каждой стороны нижнего основания есть соответствующая сторона верхнего, а соединяющие их вершины отрезки являются боковыми рёбрами. Следовательно, число боковых граней совпадает с числом сторон основания. Например, у усечённой пятиугольной пирамиды будет пять боковых трапеций.

Правильную усечённую пирамиду получают, если исходная пирамида была правильной: её основание — правильный многоугольник, а вершина проектируется в центр основания. Параллельное сечение даёт ещё один правильный многоугольник, поэтому оба основания правильные. Симметрия исходной пирамиды сохраняется и после срезания: боковые грани оказываются равными равнобедренными трапециями. Это свойство позволяет выражать площадь всей боковой поверхности через периметры оснований и общую высоту боковой грани — апофему.

Элементы усечённой пирамиды и их свойства

В таблице сначала найдите нужный элемент по названию, а затем проверьте, какое свойство пригодится в задаче. Особенно важно не смешивать высоту тела, боковое ребро и апофему: это отрезки разного направления и назначения. У правильной усечённой пирамиды апофема относится к боковой грани, а высота — к расстоянию между основаниями.

Разбор задач

Задача 1. Пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию. Определите, какая часть пирамиды является усечённой, и назовите её основания и боковые грани. Плоскость отделяет верхнюю маленькую пирамиду, подобную исходной, от оставшейся части. Нужно назвать именно эту оставшуюся часть и её элементы.

1. По определению усечённой является часть между плоскостью сечения и исходным основанием.
2. Нижнее основание — основание исходной пирамиды, верхнее — многоугольник сечения.
3. Каждая боковая грань оставшейся части ограничена сторонами этих оснований и отрезками боковых рёбер, поэтому является трапецией.

Ответ: усечённая пирамида — часть между сечением и основанием; её основания — исходное основание и сечение, боковые грани — трапеции.

Задача 2. Основания усечённой пирамиды — подобные треугольники с коэффициентом подобия 2. Сторона верхнего основания равна 3 см. Найдите соответствующую сторону нижнего основания. Коэффициент подобия показывает, во сколько раз сторона первого из указанных многоугольников больше соответствующей стороны второго. Здесь важно не перепутать, какое основание считается увеличенным.

1. По условию верхнее основание подобно нижнему с коэффициентом 2, то есть сторона верхнего вдвое больше соответствующей стороны нижнего.
2. Обозначим искомую сторону нижнего основания через x. Тогда 3 = 2x.
3. Разделим обе части равенства на 2: x = 1,5 см. Это значение меньше стороны верхнего основания, что согласуется с коэффициентом подобия.

Ответ: соответствующая сторона нижнего основания равна 1,5 см.

Задача 3. Правильная треугольная усечённая пирамида имеет высоту 4 см, апофему 5 см и стороны оснований 6 см и 2 см. Найдите площадь её боковой поверхности. Для правильной усечённой пирамиды площадь равна произведению апофемы на полусумму периметров оснований. Данные о высоте здесь не нужны для расчёта: апофема уже известна.

1. Оба основания — равносторонние треугольники, поэтому их периметры равны P₁ = 3 · 6 = 18 см и P₂ = 3 · 2 = 6 см.
2. Вычислим полусумму периметров: ½(18 + 6) = 12 см.
3. Умножим её на апофему: Sбок = 12 · 5 = 60 см². Единицы площади — квадратные сантиметры, потому что перемножены длины.

Ответ: площадь боковой поверхности равна 60 см².

Типичные ошибки

Не всякое сечение пирамиды образует усечённую пирамиду: секущая плоскость должна быть параллельна основанию. Ошибку допускают, когда ориентируются только на то, что часть вершины отсечена. Проверьте, параллельны ли плоскости сечения и основания; если нет, определение усечённой пирамиды не выполняется.

Боковые грани усечённой пирамиды — не треугольники, а трапеции. Треугольными они были у исходной пирамиды, но после срезания вершины каждая грань ограничивается ещё и отрезком сечения. Чтобы проверить себя, найдите у грани две стороны, лежащие в параллельных плоскостях оснований: они параллельны.

Высоту иногда принимают за боковое ребро или апофему, поскольку все эти отрезки соединяют разные части тела. Высота перпендикулярна плоскостям оснований, боковое ребро соединяет их вершины, а апофема правильной усечённой пирамиды лежит в боковой грани и является её высотой. Перед вычислениями отметьте, к каким плоскостям или граням относится данный отрезок.

Формулу Sбок = ½(P₁ + P₂)l нельзя автоматически применять к любой усечённой пирамиде. Она основана на том, что у правильной усечённой пирамиды боковые грани — равные трапеции с общей апофемой. Если грани различаются или тело не является правильным, проверьте условия задачи и находите площади отдельных граней. Самопроверка: все боковые грани должны иметь одинаковую высоту, а апофема должна быть известна.

Связь с другими темами

Для работы с усечённой пирамидой нужно знать, что такое пирамида, её основание, боковые грани и высота, а также уметь обозначать элементы многогранника. Подобие многоугольников помогает связывать длины сторон двух оснований, а свойства параллельных плоскостей объясняют форму сечения. Эти знания понадобятся при вычислении площадей поверхностей и объёмов многогранников, а также в задачах на сечения.

Что запомнить

• Усечённую пирамиду получают сечением пирамиды плоскостью, параллельной основанию.
• Основания усечённой пирамиды подобны и лежат в параллельных плоскостях.
• Боковые грани усечённой пирамиды — трапеции.
• Высота — расстояние между плоскостями оснований.
• У правильной усечённой пирамиды боковые грани — равные равнобедренные трапеции.
• Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.