49. Усеченная пирамида

Определения и обозначения

Усечённая пирамида — многогранник, который получается, когда вершину пирамиды отсекают плоскостью, параллельной основанию. Остаётся часть пирамиды, содержащая её исходное основание; верхняя часть с вершиной образует меньшую пирамиду. Это определение помогает представить, откуда берутся грани и основания нового многогранника.

Основания усечённой пирамиды — два многоугольника, лежащие в параллельных плоскостях. Они подобны, потому что один из них получен параллельным сечением исходной пирамиды. Это свойство позволяет переносить отношения сторон одного основания на другое и находить неизвестные размеры.

Боковая грань усечённой пирамиды — часть боковой грани исходной пирамиды, которая осталась между основаниями. Исходная грань была треугольником, а после срезания её верхней части остаётся четырёхугольник с одной парой параллельных сторон, то есть трапеция. По форме этих граней можно отличить усечённую пирамиду от обычной.

Апофема правильной усечённой пирамиды — высота её боковой грани, то есть боковой трапеции. Она лежит в этой грани и соединяет параллельные стороны трапеции под прямым углом. Высота всей усечённой пирамиды проходит между плоскостями оснований перпендикулярно им, поэтому апофема и высота — разные отрезки.

Как это устроено

Плоскость сечения параллельна основанию, поэтому она пересекает боковые грани по прямым, параллельным сторонам основания. В каждой боковой грани получается треугольник, подобный исходной треугольной грани. Из подобия следует, что на всех боковых рёбрах отношение отрезка от вершины до сечения к полной длине ребра одинаково; значит, отсечённая верхняя пирамида подобна исходной.

Подобие пирамид связывает размеры двух оснований усечённой части. Соответствующие стороны оснований относятся так же, как линейные размеры исходной и отсечённой пирамид, а их периметры имеют то же отношение. Если известны площади подобных оснований, отношение их соответствующих сторон равно квадратному корню из отношения площадей. Это позволяет использовать площадь, чтобы определить коэффициент подобия, а затем вычислять длины.

Боковая грань усечённой пирамиды получается из треугольной грани исходной пирамиды после удаления её верхней части. Линия среза параллельна стороне исходного основания, поэтому в полученном четырёхугольнике есть пара параллельных сторон. Четырёхугольник с одной парой параллельных сторон — трапеция, следовательно, такова каждая боковая грань усечённой пирамиды.

У правильной пирамиды основание — правильный многоугольник, а вершина расположена над его центром. При параллельном основании срезе сохраняется симметрия: боковые грани становятся равными равнобедренными трапециями. Высота каждой такой трапеции одинакова; её и называют апофемой усечённой пирамиды. Она относится к боковой поверхности, тогда как высота всего тела измеряется перпендикулярно между плоскостями оснований.

Площадь боковой поверхности находят сложением площадей всех боковых трапеций. У каждой трапеции площадь равна произведению её высоты на полусумму длин параллельных сторон. Если сложить эти выражения для всех граней правильной усечённой пирамиды, стороны нижнего основания дадут его периметр, а стороны верхнего — периметр верхнего основания. Поэтому Sбок = l(P₁ + P₂)/2, где l — апофема, P₁ и P₂ — периметры оснований.

Элементы и основные свойства усечённой пирамиды

Сначала определите, о каком элементе говорится: высота относится ко всему телу, а апофема — к боковой грани. Для вычислений по формуле площади понадобятся именно апофема и оба периметра оснований. Если пирамида не правильная, проверьте отдельно, можно ли складывать площади её граней по этой формуле.

Разбор задач

Вид боковой грани

Задача. В пирамиде проведено сечение плоскостью, параллельной основанию. Определите вид боковой грани полученной усечённой пирамиды. Чтобы ответить, рассмотрим одну треугольную грань исходной пирамиды и линию, по которой её пересекает плоскость.

1. Сторона исходного основания и линия сечения лежат в параллельных плоскостях, поэтому они параллельны.
2. В исходной треугольной грани эта линия отсекает верхний треугольник. Оставшаяся часть имеет четыре стороны и одну пару параллельных сторон.
3. Такой четырёхугольник является трапецией. Значит, все боковые грани усечённой пирамиды — трапеции.

Ответ: боковая грань имеет форму трапеции. Параллельность её оснований обеспечивается тем, что секущая плоскость параллельна основанию пирамиды.

Высота усечённой части

Задача. Площади оснований усечённой пирамиды равны 64 см² и 16 см², высота исходной пирамиды — 12 см. Найдите высоту усечённой части, если меньшее основание получено параллельным сечением. Меньшее сечение принадлежит отсечённой малой пирамиде, поэтому сначала определим её высоту.

1. Отношение площадей малого и исходного оснований равно 16/64 = 1/4.
2. У подобных пирамид отношение площадей оснований равно квадрату коэффициента подобия. Поэтому отношение линейных размеров, в том числе высот, равно √(1/4) = 1/2.
3. Высота малой пирамиды равна 12 · 1/2 = 6 см. Усечённая часть занимает остаток высоты исходной пирамиды: 12 − 6 = 6 см.

Ответ: 6 см. Проверка: высота малой пирамиды меньше исходной, а высота усечённой части вместе с ней даёт исходные 12 см.

Площадь боковой поверхности

Задача. Правильная усечённая пирамида имеет периметры оснований 18 см и 30 см и апофему 7 см. Найдите площадь её боковой поверхности. Здесь уже даны все величины, необходимые для формулы; нужно лишь не перепутать апофему с высотой усечённой пирамиды.

1. Запишем формулу площади боковой поверхности правильной усечённой пирамиды: Sбок = l(P₁ + P₂)/2.
2. Подставим значения: Sбок = 7 · (18 + 30)/2.
3. Вычислим полусумму периметров: (18 + 30)/2 = 24 см. Тогда Sбок = 7 · 24 = 168 см².

Ответ: 168 см². Единицы площади получились при умножении длины апофемы на длину периметра.

Типичные ошибки

Ошибка — называть боковые грани усечённой пирамиды треугольниками. Треугольными они были у исходной пирамиды, а после срезания вершины остаются трапеции; путаница возникает, если не учесть саму линию среза. Проверьте, что грань ограничена четырьмя сторонами и две из них параллельны.

Иногда основания считают равными, потому что они имеют одинаковую форму. На деле основания параллельны и подобны, но их размеры обычно различаются: равными они будут лишь в особом случае. Для проверки сравните соответствующие стороны или площади, а не только форму многоугольников.

Высоту усечённой пирамиды могут принять за апофему. Причина ошибки — обе величины являются высотами, но одна относится ко всему телу, а другая к боковой трапеции; первая перпендикулярна основаниям, вторая лежит в боковой грани. На рисунке или в описании проследите, между какими точками проходит нужный отрезок.

Формулу площади боковой поверхности правильной усечённой пирамиды применяют к любой усечённой пирамиде. Это неверно: у произвольного тела трапеции могут быть разными, и единая апофема не описывает их все. Проверьте, что пирамида правильная и её боковые грани равны; иначе найдите площадь каждой грани отдельно и сложите результаты.

Связь с другими темами

Для работы с усечённой пирамидой нужно знать, что такое пирамида, её основание и боковые грани. Также пригодятся параллельность плоскостей и понятие сечения многогранника: они объясняют, как устроен срез. Свойства параллельных прямых помогают увидеть, почему боковые грани становятся трапециями.

Подобие треугольников и многоугольников позволяет связывать размеры исходной и отсечённой пирамид. Через коэффициент подобия находят длины рёбер и высоты, а через квадрат коэффициента — отношение площадей оснований. Эти приёмы используются и в других задачах на отношения частей геометрических фигур.

Тема нужна при вычислении площадей и объёмов многогранников и при решении задач на сечения пирамид. Сначала по сечению определяют форму и размеры частей тела, затем применяют подходящие формулы. Так геометрические свойства помогают перейти от пространственной фигуры к вычислениям.

Что запомнить

• Основания усечённой пирамиды параллельны и подобны.
• Боковые грани усечённой пирамиды — трапеции.
• Высота усечённой пирамиды перпендикулярна её основаниям.
• У правильной усечённой пирамиды боковые грани — равные равнобедренные трапеции.
• Апофема правильной усечённой пирамиды — высота боковой трапеции.
• Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению апофемы на полусумму периметров оснований: Sбок = l(P₁ + P₂)/2.