48. Построение пирамиды и ее плоских сечений

Определения и обозначения

Пирамида — многогранник, основанием которого служит многоугольник, а боковые грани являются треугольниками с общей вершиной. Общую вершину называют вершиной пирамиды, многоугольник — основанием, а отрезки от вершины к вершинам основания — боковыми рёбрами. Треугольники, образованные вершиной и сторонами основания, называются боковыми гранями. Эти названия помогают точно указывать, на какой части фигуры строится сечение.

Плоское сечение пирамиды — многоугольник, полученный при пересечении пирамиды плоскостью. Его стороны расположены в плоскостях граней, а вершины принадлежат рёбрам или вершинам пирамиды. Сечение показывает, какую фигуру образует плоскость внутри тела. По нему можно изучать форму части пирамиды и решать задачи о площадях.

След плоскости на грани — прямая, по которой секущая плоскость пересекает плоскость этой грани. На чертеже изображают ту часть следа, которая лежит внутри грани. Этот отрезок задаёт сторону сечения на данной грани. Понятие следа позволяет переходить от построения в пространстве к построению на плоском чертеже.

Линия сечения — отрезок, по которому секущая плоскость пересекает грань пирамиды. Концы такого отрезка лежат на рёбрах грани или совпадают с вершинами пирамиды. Линии сечения соседних граней соединяются в общих точках на рёбрах. Поэтому их последовательное построение даёт контур всего многоугольника.

Как это устроено

Пирамиду изображают так, чтобы было видно основание и боковые рёбра, ведущие к общей вершине. Видимые рёбра проводят сплошными линиями, а скрытые за гранями — пунктирными. Такой способ нужен потому, что чертёж плоский и сам по себе не показывает, какие части тела находятся ближе к наблюдателю. Различие линий помогает правильно читать форму пирамиды и расположение сечения.

Построение сечения начинают с точек, где секущая плоскость пересекает рёбра пирамиды. Каждая такая точка становится вершиной сечения или частью его границы, поэтому её положение важно установить точно. Затем выясняют, какие точки лежат на одной грани: именно внутри неё можно построить сторону сечения. Если просто соединять точки в удобном порядке, полученный отрезок может пройти вне поверхности пирамиды.

Две точки сечения на одной грани соединяют отрезком, потому что плоскость грани и секущая плоскость пересекаются по прямой. Эта прямая и есть след секущей плоскости на грани. Внутри самой грани след ограничен её сторонами, поэтому на чертеже проводят только соответствующий отрезок. Так геометрическое свойство пересечения плоскостей подсказывает, где должна лежать линия сечения.

Построив сторону на одной грани, находят ребро, на котором она заканчивается, и переходят к соседней грани. Общее ребро принадлежит обеим граням, поэтому точка перехода сохраняется и для следующего отрезка. На новой грани строят след секущей плоскости и продолжают обход. Делают это до возвращения к начальной точке: так проверяют, что получен полный замкнутый контур, а не его часть.

Иногда на грани известна только одна точка сечения, и тогда недостающую точку находят по известному направлению линии. Направление может задаваться параллельностью другой стороны сечения; проведённая через известную точку параллельная прямая пересечёт ребро грани в искомой точке. Параллельность применима лишь тогда, когда обе прямые лежат в подходящей плоскости, поэтому принадлежность грани нужно проверять. Готовое построение проверяют обходом соседних граней, замыканием контура и расположением всех его вершин на пирамиде.

Приёмы построения сечения пирамиды

Таблица подсказывает, какое построение выбрать в зависимости от известных точек и положения грани. Сначала определите, какие грани содержат заданные точки, затем используйте общий для соседних граней элемент — ребро или точку на нём. После этого продолжайте обход, пока не получите замкнутый многоугольник.

Разбор задач

Задача 1. В треугольной пирамиде заданы три точки секущей плоскости на рёбрах, выходящих из одной вершины. Построить сечение. Все три ребра принадлежат разным боковым граням, но каждая пара точек входит в одну из этих граней. Поэтому каждую сторону контура можно провести непосредственно между двумя заданными точками.

1. Обозначим общую вершину пирамиды и три заданные точки на выходящих из неё рёбрах.
2. На каждой боковой грани отметим лежащие на ней две точки и соединим их отрезком.
3. Проверим, что три отрезка образуют замкнутый контур и лежат внутри соответствующих граней.

Ответ: сечение — треугольник с вершинами в заданных точках. Проверка замыкания подтверждает, что все три его стороны построены на гранях пирамиды.

Задача 2. В четырёхугольной пирамиде секущая плоскость проходит через точки на трёх рёбрах, принадлежащих разным граням. Построить полный контур сечения. Не следует сразу соединять все три точки: сначала нужно определить их расположение относительно граней. Затем линии сечения проводят последовательно и находят точки, в которых они выходят на другие рёбра.

1. На гранях, содержащих пары заданных точек, проведём отрезки линии сечения.
2. Если на очередной грани имеется только одна известная точка, продолжим туда построение через общее с соседней гранью ребро.
3. Найдём пересечение следа с ребром этой грани; если известно направление, используем параллельность соответствующих линий.
4. Перейдём к следующей грани и повторим построение, пока линия не вернётся к начальной точке.

Ответ: полный контур получают последовательным обходом граней. Каждую новую точку проверяют по принадлежности ребру, а последнюю сторону — по замыканию многоугольника.

Задача 3. В пирамиде с заданным основанием секущая плоскость проходит через точку на боковом ребре и пересекает плоскость основания по заданной прямой. Нужно построить сечение. След на основании сразу показывает, где секущая плоскость входит в основание или выходит из него. Его пересечения с рёбрами основания дают точки, от которых удобно продолжать построение по боковым граням.

1. Проведём заданную прямую следа на плоскости основания и найдём её пересечения с рёбрами основания.
2. Оставим только те точки, которые принадлежат самим рёбрам основания, а не их продолжениям.
3. На боковых гранях соединим найденные точки с заданной точкой на боковом ребре там, где они лежат на одной грани.
4. Продолжим обход через соседние грани и проверим, что стороны образуют замкнутый контур.

Ответ: сечение строится из отрезков на боковых гранях и следа на основании. Полученные стороны должны последовательно соединяться по общим рёбрам и замыкаться.

Типичные ошибки

Соединяют точки, не проверяя, лежат ли они на одной грани. Такую ошибку допускают, когда ориентируются только на близость точек на рисунке: отрезок между ними может пройти сквозь тело или вне пирамиды. Перед построением стороны проверьте, что обе точки принадлежат грани и что отрезок лежит внутри неё. Если общей грани нет, найдите промежуточную точку перехода.

Останавливаются после нахождения нескольких точек. Иногда часть контура кажется законченной, хотя линии на соседних гранях ещё не построены. Тогда сечение остаётся незамкнутым и не показывает полного многоугольника. Обходите грани последовательно, отмечая, какая точка стала начальной, и продолжайте до возвращения к ней.

Принимают пересечение продолжений рёбер за точку сечения. Это происходит, если не различать само ребро и прямую, на которой оно лежит. Секущая плоскость может пересечь продолжение, но такая точка не принадлежит пирамиде и не является вершиной её сечения. Проверяйте, находится ли точка между концами ребра или совпадает с его вершиной.

Не различают видимые и невидимые линии. Если все рёбра и стороны сечения изображены одинаково, становится непонятно, какие части тела закрыты от наблюдателя. Это затрудняет чтение чертежа и может создать ложное впечатление о контуре. Сверяйте положение линий с гранями: видимые проводите сплошными, скрытые — пунктирными.

Связь с другими темами

Для построения сечения нужно уметь изображать многогранники и находить пересечения прямых и плоскостей. Это помогает определить, на каких рёбрах лежат вершины сечения и как связаны грани пирамиды. При поиске недостающих точек применяются признак параллельности прямой и плоскости и свойства параллельных прямых. Навык пригодится при изучении многогранников, их элементов и вычислении площадей сечений.

Что запомнить

• Сечение пирамиды плоскостью является многоугольником.
• Вершины сечения лежат на рёбрах пирамиды или совпадают с её вершинами.
• Сторона сечения в каждой грани лежит на прямой пересечения секущей плоскости с плоскостью этой грани.
• Отрезки сечения строят только внутри соответствующих граней.
• При построении переходят от грани к соседней и замыкают контур.
• Параллельность помогает находить недостающие точки и направления линий сечения.
• Видимые и невидимые линии на чертеже обозначают по-разному.