3.2. Понятие правильного многогранника

Определения и обозначения

Многогранник — пространственное тело, поверхность которого составлена из многоугольников. Эти многоугольники называют гранями, их стороны — рёбрами, а точки, в которых сходятся рёбра, — вершинами. По этим элементам описывают форму тела и сравнивают разные многогранники.

Правильный многогранник — выпуклый многогранник, у которого все грани являются равными правильными многоугольниками и в каждой вершине сходится одно и то же число граней. Равенство граней означает, что они совпадают при наложении, а не просто имеют одинаковую форму. Это определение задаёт сразу несколько условий, которые нужно проверять вместе.

Правильный многоугольник — многоугольник, у которого все стороны и все углы равны. Например, правильный треугольник — равносторонний треугольник, а правильный четырёхугольник — квадрат. Такие фигуры становятся гранями правильного многогранника, поэтому их форма влияет на то, какое тело может получиться.

Многогранный угол образуется несколькими плоскими углами с общей вершиной, расположенными в разных плоскостях. Если рассмотреть грани многогранника около одной вершины, их углы образуют именно такую фигуру. Она помогает понять, как грани соединяются и могут ли они составить выпуклое тело.

Как это устроено

Равенство граней само по себе не гарантирует правильность многогранника. Даже если все грани — одинаковые квадраты, у одних вершин могут сходиться три квадрата, а у других — четыре: тогда вершины устроены по-разному. Поэтому определение требует, чтобы число граней при каждой вершине было одинаковым; так поверхность складывается с одинаковым локальным устройством.

У выпуклого многогранника сумма плоских углов граней при вершине строго меньше 360°. Представим, что вершину с её гранями вырезали и развернули: грани должны образовать выступающий угол, который можно замкнуть в объёмное тело. При сумме 360° углы укладываются в плоскость, а при большей сумме они перекрываются; выпуклый многогранный угол не образуется.

Пусть грань — правильный n-угольник, а у каждой вершины сходится q граней. Внутренний угол такой грани равен 180° − 360°/n, поэтому необходимо, чтобы q(180° − 360°/n) < 360°. При q не меньше трёх это условие ограничивает и число сторон грани, и количество граней около вершины: например, у правильного шестиугольника угол равен 120°, а три таких угла уже дают 360°.

Из ограничения получается конечный список сочетаний: треугольные грани могут встречаться по три, четыре или пять у вершины; квадратные и пятиугольные — по три. Для правильных многоугольников с шестью и более сторонами даже три угла не укладываются в условие строгого неравенства. Поэтому существуют только пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.

Сравнивать эти тела удобно не только по форме грани, но и по числу граней, рёбер, вершин и граней у вершины. Например, у тетраэдра и икосаэдра грани треугольные, однако у них различаются все перечисленные характеристики. Числа связаны между собой: каждое ребро принадлежит двум граням, а вершины показывают, как грани соединены в пространстве.

Пять правильных многогранников

В таблице указаны характеристики пяти тел. Число в последнем столбце — одинаковое для всех вершин данного многогранника количество сходящихся в каждой из них граней. Сравнивайте столбцы вместе: одинаковая форма грани ещё не означает, что многогранники одинаковы.

Разбор задач

Задача 1. Определить, является ли выпуклый многогранник правильным, если все его грани — равные квадраты, но в одних вершинах сходятся три грани, а в других — четыре. Проверим условия определения по очереди. Равные квадраты удовлетворяют требованию к граням, но устройство вершин неодинаково.

1. Убедимся, что грани являются правильными многоугольниками и равны: квадрат — правильный четырёхугольник, а по условию квадраты равны.
2. Сравним число граней при вершинах: в одних их три, в других четыре.
3. Сделаем вывод: одинаковое число граней при каждой вершине не соблюдается.

Ответ: многогранник не является правильным, хотя все его грани — равные квадраты. Причина — не одинаковое устройство вершин.

Задача 2. Может ли правильный многогранник иметь гранями правильные шестиугольники, если у каждой вершины сходятся три грани? Чтобы проверить возможность, найдём угол правильного шестиугольника и сумму трёх таких углов. Затем сравним полученный результат с условием выпуклости.

1. Внутренний угол правильного n-угольника равен 180° − 360°/n. При n = 6 получаем 180° − 60° = 120°.
2. При вершине сходятся три грани, значит сумма плоских углов равна 3 · 120° = 360°.
3. Для выпуклого многогранника сумма должна быть строго меньше 360°, поэтому равенство условию не подходит.

Ответ: нет, такой правильный выпуклый многогранник невозможен. Три угла шестиугольников не образуют выпуклый многогранный угол.

Задача 3. Для правильного многогранника с треугольными гранями определить возможное число граней при вершине и назвать получающиеся виды тел. Угол равностороннего треугольника равен 60°, поэтому сначала проверим условие суммы, а затем сопоставим допустимые случаи с известными многогранниками. Граней при вершине должно быть не меньше трёх.

1. При трёх гранях сумма углов равна 3 · 60° = 180°, что меньше 360°.
2. При четырёх гранях сумма равна 4 · 60° = 240°, а при пяти — 5 · 60° = 300°; оба случая тоже допустимы.
3. При шести гранях сумма уже 6 · 60° = 360°, поэтому шесть граней при вершине невозможны. Среди правильных многогранников допустимым числам соответствуют тетраэдр, октаэдр и икосаэдр.

Ответ: у вершины могут сходиться 3, 4 или 5 треугольных граней; получаются тетраэдр, октаэдр и икосаэдр соответственно.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать многогранник правильным только потому, что все его грани правильные. Так рассуждают, сосредоточившись на форме отдельных многоугольников, и забывают об устройстве вершин. Проверьте также равенство граней и одинаковое количество граней у каждой вершины.

Вторая ошибка — путать равенство граней с одинаковой формой. Два правильных многоугольника могут быть подобны, но иметь разные размеры, поэтому они не равны и не совпадут при наложении. Для проверки сравните не только вид граней, но и их стороны: у равных правильных многоугольников соответствующие стороны имеют одинаковую длину.

Третья ошибка — допускать сумму углов при вершине, равную или большую 360°. Это происходит, когда условие воспринимают как «не больше 360°», хотя грани должны образовать выпуклый угол. Подставьте углы граней и проверьте строгое неравенство: сумма обязана быть меньше 360°.

Четвёртая ошибка — считать, что в каждой вершине может сходиться произвольное количество граней. Для правильного многогранника число должно быть одинаковым во всех вершинах, иначе вершины устроены неодинаково. Пересчитайте грани вокруг нескольких вершин и убедитесь, что результат каждый раз совпадает.

Связь с другими темами

Для изучения правильных многогранников нужны знания об элементах многогранника и свойствах выпуклых тел. Также пригодятся признаки правильного многоугольника: равенство его сторон и углов позволяет определить форму граней. Эти понятия помогают проверить, подходит ли заданная фигура под определение.

Позже свойства многогранников понадобятся при изучении их площадей и объёмов. Умение распознавать грани, рёбра и вершины помогает представить тело и подготовить чертёж или построение. Правильные многогранники служат наглядными примерами симметричных пространственных тел.

Что запомнить

• Правильный многогранник должен быть выпуклым.
• Все его грани — равные правильные многоугольники.
• В каждой вершине сходится одно и то же число граней.
• Сумма плоских углов при вершине выпуклого многогранника меньше 360°.
• Существует пять видов правильных многогранников.
• Это тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.