36. Понятие правильного многогранника

Определения и обозначения

Правильный многогранник — выпуклый многогранник, у которого все грани являются равными правильными многоугольниками и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Правильный многоугольник имеет равные стороны и равные углы, а равные грани совпадают по форме и размеру. Такое определение позволяет проверять не только отдельные грани, но и всё строение тела.

Правильный тетраэдр — правильный многогранник с четырьмя равносторонними треугольниками в качестве граней. У каждой его вершины сходятся три грани. Это простейший пример тела, для которого можно наглядно проверить оба условия правильности.

Правильный октаэдр — правильный многогранник, гранями которого служат восемь равных равносторонних треугольников. В каждой вершине октаэдра сходятся четыре грани. Его полезно отличать от тетраэдра по количеству граней и устройству вершины.

Правильный икосаэдр имеет двадцать треугольных граней, куб — шесть квадратных, а правильный додекаэдр — двенадцать правильных пятиугольных граней. У всех этих тел грани одного типа и одинакового размера. Вместе с тетраэдром и октаэдром они составляют полный перечень правильных многогранников.

Как это устроено

Одинаковых правильных граней самих по себе недостаточно. Представим, что у одних вершин сходится три грани, а у других четыре: тогда окружение вершин устроено по-разному, и тело не обладает одинаковой структурой во всех точках. Поэтому определение отдельно требует одинакового числа граней при каждой вершине.

Равенство граней и одинаковое устройство вершин обеспечивают регулярность всего тела: с каждой вершиной связано одинаковое число одинаковых элементов. Однако правильный многогранник должен быть ещё и выпуклым. Выпуклость означает, что отрезок между любыми двумя точками тела целиком лежит внутри него; она исключает вогнутые участки и задаёт привычное внешнее строение.

Ограничение на возможные грани и вершины следует из углов. У правильного многоугольника все углы равны, а при вершине многогранника встречаются несколько таких углов. Для выпуклого угла их сумма обязана быть меньше 360°: при сумме 360° поверхность в этом месте стала бы плоской, а при большей величине грани не образовали бы выпуклую вершину.

Отсюда видно, почему нельзя выбрать произвольный правильный многоугольник и произвольное число граней вокруг вершины. Например, у правильного шестиугольника угол равен 120°, поэтому три таких угла дают ровно 360°, а четыре — больше. Ни один из этих вариантов не создаёт выпуклую вершину многогранника.

В каждой грани стороны и углы должны быть равны, а сами грани — совпадать по размеру: иначе тело не будет правильным. Число граней вокруг каждой вершины также должно быть постоянным, иначе вершины окажутся устроены неодинаково. Угол грани и число граней у вершины вместе определяют допустимый вариант, поэтому получаются только пять тел: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.

Пять видов правильных многогранников

Сначала найдите в таблице форму грани и число граней у вершины — это помогает распознать многогранник. Затем можно проверить подсчёты: каждая грань имеет несколько сторон, но каждое ребро принадлежит двум граням. Числа в столбцах помогают не путать грани, рёбра и вершины.

Разбор задач

Равные квадратные грани, но разное число граней у вершин

Условие: выпуклый многогранник имеет равные квадратные грани, но у одних вершин сходятся три грани, а у других — четыре. Нужно определить, является ли он правильным. Проверим условия определения отдельно, чтобы не принять совпадение формы граней за достаточное основание.

1. Квадрат — правильный многоугольник, и по условию все грани равны. Первое требование выполнено.
2. У правильного многогранника число граней при каждой вершине должно быть одинаковым. Здесь оно различается: встречаются вершины с тремя и с четырьмя гранями.
3. Значит, второе требование нарушено. Выпуклость этого недостатка не устраняет.

Ответ: многогранник не является правильным, потому что число граней у его вершин неодинаково.

Возможны ли правильные шестиугольные грани?

Условие: предполагается, что выпуклый правильный многогранник имеет грани в форме правильных шестиугольников и в каждой вершине сходятся три грани. Проверим, может ли такая вершина быть выпуклой. Для этого достаточно найти сумму плоских углов при ней.

1. Угол правильного шестиугольника равен 120°.
2. Три грани дают сумму 3 · 120° = 360°.
3. У выпуклой вершины сумма углов должна быть строго меньше 360°. Условие не выполняется, поэтому такое устройство невозможно.

Ответ: нет, выпуклый правильный многогранник с такими гранями и тремя гранями у каждой вершины существовать не может.

Треугольные грани и четыре грани у вершины

Условие: все грани правильного многогранника — равносторонние треугольники, и у каждой вершины сходятся четыре грани. Нужно распознать тело и найти число его вершин, рёбер и граней. Угол равностороннего треугольника равен 60°, поэтому четыре угла дают 240° — это меньше 360° и не противоречит выпуклости.

1. Сочетание равносторонних треугольников и четырёх граней у вершины соответствует правильному октаэдру. По таблице у него 8 граней.
2. Подсчитаем рёбра через грани: у восьми треугольников всего 8 · 3 = 24 стороны. Каждое ребро посчитано дважды, так как принадлежит двум граням, поэтому рёбер 24 : 2 = 12.
3. В каждой вершине сходятся четыре ребра. Если посчитать их по всем вершинам, каждое ребро будет учтено дважды: 4V = 2 · 12, откуда V = 6.

Ответ: правильный октаэдр; 6 вершин, 12 рёбер и 8 граней.

Типичные ошибки

• Считать многогранник правильным только из-за равных правильных граней. Так делают, потому что легко проверить каждую грань, но можно не заметить различия в вершинах. Проверьте, сколько граней сходится у каждой вершины: это число должно быть одним и тем же.

• Путать равные грани с гранями одинаковой формы. Одинаковая форма ещё не означает одинаковый размер, а слово «правильный» требует, чтобы каждая грань была правильным многоугольником. Сравните и форму с размерами, и стороны с углами внутри каждой грани.

• Не учитывать выпуклость, когда проверяется возможное устройство вершины. Из-за этого можно принять за возможный вариант сумму углов, равную или превышающую 360°. Сложите углы граней при вершине и убедитесь, что результат строго меньше 360°.

• Смешивать число граней у вершины с числом выходящих из неё рёбер. В рассматриваемой ситуации эти числа совпадают, потому что каждая сходящаяся грань содержит одно ребро, выходящее из вершины, но это разные понятия. При ответе уточняйте, какие элементы требуется посчитать.

Связь с другими темами

Для изучения правильных многогранников нужно знать, что такое выпуклый многогранник, его грани, рёбра и вершины, а также правильный многоугольник. Эти понятия помогают точно проверить определение и понять, откуда берутся ограничения на углы. Позже свойства правильных тел пригодятся при изучении симметрии пространственных фигур и вычислении характеристик многогранников. Они также используются в задачах на площади поверхностей и объёмы.

Что запомнить

• Правильный многогранник должен быть выпуклым.
• Все его грани — равные правильные многоугольники.
• В каждой вершине сходится одинаковое число граней.
• Сумма плоских углов при вершине выпуклого многогранника меньше 360°.
• Существует пять видов правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
• У каждого правильного многогранника форма грани и число граней при вершине определены однозначно.