37. Элементы симметрии правильных многогранников

Определения и обозначения

Элемент симметрии правильного многогранника — геометрический объект, относительно которого преобразование совмещает многогранник с самим собой. Таким объектом может быть прямая, плоскость или точка. Это понятие помогает точно описать, каким способом тело можно преобразовать, не изменив его положения относительно самого себя.

Ось симметрии — прямая, при повороте вокруг которой многогранник совмещается с собой. У оси указывают порядок — число совмещений за полный оборот; например, поворот на 90° даёт ось четвёртого порядка. Порядок нужен, чтобы различать оси, вокруг которых тело возвращается в исходное положение после разных углов.

Плоскость симметрии — плоскость, отражение относительно которой переводит многогранник в себя. При таком отражении части тела по разные стороны плоскости меняются местами, но фигура целиком остаётся той же. Это определение позволяет проверять, действительно ли выбранная плоскость делит тело на зеркально совпадающие части.

Центр симметрии — точка, относительно которой центральная симметрия переводит многогранник в себя. При этом каждой точке тела соответствует точка на противоположной стороне центра, на таком же расстоянии от него. Понятие нужно, чтобы выяснить, образуют ли элементы фигуры пары, расположенные напротив друг друга.

Как это устроено

Симметрия правильного многогранника связана с тем, что его грани равны, а рёбра и вершины расположены согласованно. Если поворот или отражение переводит одну часть тела в другую, он должен сохранить все расстояния и взаимное расположение элементов. Иначе вершина окажется не на вершине или грань не совпадёт с гранью, и преобразованный многогранник уже не будет тем же самым телом.

Чтобы найти ось поворота, ищут прямую через центр многогранника, вокруг которой одинаково располагаются соответствующие вершины, рёбра или грани. Затем определяют наименьший ненулевой угол α, при котором тело впервые совмещается с собой. За полный оборот 360° такой поворот повторится 360° / α раз, и это число называют порядком оси. Так, если совмещение происходит через каждые 120°, порядок равен 3.

У тетраэдра четыре оси третьего порядка проходят через вершину и центр противоположной грани. Поворот вокруг такой прямой на 120° переставляет три вершины грани, оставляя вершину на оси на месте. Ещё три оси второго порядка соединяют середины пар противоположных рёбер: поворот на 180° меняет местами концы этих рёбер и сохраняет тело. Всего получается 4 + 3 = 7 осей.

У куба и октаэдра вращательные симметрии устроены одинаково по количеству и порядкам, поскольку эти тела двойственны: вершинам одного соответствуют грани другого. У каждого есть три оси четвёртого порядка через центры противоположных граней куба (или противоположные вершины октаэдра), четыре оси третьего порядка и шесть осей второго порядка. Вместе они дают 3 + 4 + 6 = 13 осей; равенство набора вращений объясняет совпадение итогового числа.

Додекаэдр и икосаэдр также взаимно двойственны: вершины одного соответствуют граням другого, а грани — вершинам. Поэтому соответствующие повороты сохраняют порядок и число осей при переходе от одного тела к другому. У каждого есть 6 осей пятого порядка, 10 третьего и 15 второго, то есть 31 ось; совпадает и число плоскостей симметрии — 15.

Элементы симметрии пяти правильных многогранников

Сначала выберите многогранник и прочитайте количество осей вместе с их порядками: эти сведения показывают, какие повороты сохраняют тело. Затем отдельно проверьте плоскости и центр симметрии — это другие виды преобразований. Сравнение строк помогает заметить совпадения у двойственных тел.

Разбор задач

Задача 1. Тетраэдр

Условие: определить число осей и плоскостей симметрии правильного тетраэдра и выяснить, есть ли у него центр симметрии. Удобно рассмотреть сначала оси, связанные с вершинами, затем — с рёбрами. После этого нужно проверить отражения и центральную симметрию, а не выводить их наличие из симметричного вида фигуры.

1. Через каждую из четырёх вершин проведём прямую к центру противоположной грани. Поворот на 120° вокруг каждой прямой переставляет три вершины этой грани, значит, получаем 4 оси третьего порядка.
2. У тетраэдра три пары противоположных рёбер. Прямые через середины рёбер каждой пары являются осями поворота на 180°, поэтому добавляются 3 оси второго порядка.
3. Отражение относительно плоскостей, проходящих через ребро и середину противоположного ребра, сохраняет тетраэдр; таких плоскостей 6. Для центра проверяем, могут ли вершины разбиться на противоположные пары, и видим, что не могут.

Ответ: 7 осей (4 третьего и 3 второго порядка), 6 плоскостей симметрии; центра симметрии нет.

Задача 2. Куб

Условие: перечислить оси симметрии куба по порядкам и указать число плоскостей симметрии. При подсчёте нужно разделить прямые по тому, через какие элементы они проходят. Такой способ помогает не спутать оси, соответствующие поворотам на 90°, 120° и 180°.

1. Проведём прямые через центры противоположных граней. Их три, и поворот на 90° вокруг любой из них переставляет боковые грани куба, поэтому это оси четвёртого порядка.
2. Соединим пары противоположных вершин. Таких прямых четыре; вокруг каждой куб совмещается при повороте на 120°, значит, это оси третьего порядка.
3. Проведём прямые через середины пар противоположных рёбер. Получим шесть осей второго порядка, для которых совмещение происходит после поворота на 180°. По таблице у куба также 9 плоскостей симметрии.

Ответ: 13 осей — 3 четвёртого, 4 третьего и 6 второго порядка; 9 плоскостей симметрии.

Задача 3. Додекаэдр и икосаэдр

Условие: сравнить элементы симметрии правильных додекаэдра и икосаэдра и объяснить совпадение их количеств. Достаточно не искать каждую ось на чертеже отдельно, а воспользоваться соответствием элементов двух тел. Это соответствие должно объяснить и количество осей разных порядков, и число плоскостей.

1. Заметим, что додекаэдр и икосаэдр — двойственные многогранники: вершина одного соответствует грани другого, а грань — вершине.
2. При таком соответствии поворот, сохраняющий одно тело, задаёт соответствующий поворот второго. Угол поворота и порядок оси не меняются, поэтому совпадают числа осей каждого порядка.
3. У обоих тел 6 осей пятого, 10 третьего и 15 второго порядка. Складываем: 6 + 10 + 15 = 31; плоскостей симметрии у каждого 15, и у обоих есть центр.

Ответ: у додекаэдра и икосаэдра одинаковые элементы симметрии по количеству: 31 ось, 15 плоскостей и центр симметрии. Совпадение объясняется взаимной двойственностью этих тел.

Типичные ошибки

Ошибка — считать оси, не различая их порядки. Её допускают, когда видят несколько прямых через центр, но не проверяют угол первого совмещения: ось через вершины может дать другой минимальный поворот, чем ось через середины рёбер. Проверяйте порядок поворотом на наименьший угол и записывайте для каждой группы не только число осей, но и порядок.

Ошибка — считать каждое направление на одной прямой отдельной осью. Это происходит, если ось описывают поочерёдно от центра в разные стороны и принимают два луча за разные объекты. Проверьте, лежат ли направления на одной прямой через центр: если да, это одна ось, как бы вы её ни перечисляли.

Ошибка — объявлять плоскость симметрии всякую плоскость, проходящую через центр. Само прохождение через центр ещё не гарантирует, что части тела по разные стороны зеркально совпадут. Отразите мысленно вершины и грани относительно выбранной плоскости: если хотя бы один элемент не переходит в соответствующий элемент многогранника, плоскость не является плоскостью симметрии.

Ошибка — приписывать тетраэдру центр симметрии по аналогии с другими правильными многогранниками. Можно решить, что центр должен быть у любого тела с равными гранями, но центральное отражение требует пар противоположных вершин. Проверьте, куда перейдёт каждая вершина: если её образ не является вершиной тетраэдра, центра симметрии у него нет.

Связь с другими темами

Для изучения элементов симметрии нужны знания о правильных многогранниках: необходимо различать их вершины, рёбра и грани. Также понадобятся понятия поворота, отражения и центральной симметрии, которые описывают преобразования пространства. Если уверенно представлять эти преобразования, легче проверять, сохраняется ли всё тело целиком.

Тема продолжает изучение движений пространства и подготавливает к рассмотрению групп симметрий — наборов преобразований, сохраняющих фигуру. Эти идеи применяют и при анализе других пространственных объектов: ищут, какие повороты или отражения оставляют их неизменными. Так можно сравнивать фигуры не только по форме граней, но и по устройству их симметрий.

Что запомнить

• Симметрия многогранника должна сохранять его целиком, а не только отдельную грань.
• Порядок оси показывает, сколько раз поворот вокруг неё за полный оборот совмещает тело с собой.
• У тетраэдра 7 осей и 6 плоскостей симметрии, но нет центра симметрии.
• У куба и октаэдра по 13 осей и 9 плоскостей симметрии.
• У додекаэдра и икосаэдра по 31 оси и 15 плоскостям симметрии.
• Центр симметрии есть у куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра.