"Геометрия (базовый и углубленный уровень). 10-11 классы", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Практические задания по пространственной геометрии учат изображать многогранники, строить их сечения, составлять развёртки и изготавливать модели. Эти действия помогают увидеть, как части фигуры расположены в пространстве, и проверить рассуждения на чертеже или объёмной модели. Главное — помнить, что плоское изображение условно: оно может искажать углы и длины. Поэтому каждое построение нужно сверять со свойствами многогранника.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Изображение пространственной фигуры — условный чертёж, который передаёт её форму и взаимное расположение элементов на плоскости. Например, вершины обозначают буквами, видимые рёбра проводят сплошными линиями, а скрытые часто показывают пунктиром. Такое изображение помогает рассуждать о фигуре, но не является её точной копией.
Сечение многогранника — часть секущей плоскости, которая находится внутри многогранника. Граница этой части состоит из отрезков, лежащих на гранях фигуры. Понятие нужно, чтобы представить, какую фигуру получится увидеть, если мысленно разрезать многогранник плоскостью.
Развёртка многогранника — расположение всех его граней на плоскости, при котором из них можно собрать объёмную фигуру. Грани в развёртке соединены по рёбрам, которые при сборке станут общими. Развёртка помогает изготовить модель и понять, какие грани будут соседними или противоположными.
Модель многогранника — объёмное представление фигуры, изготовленное, например, из бумаги или картона. Её можно поворачивать, складывать и сравнивать с чертежом. Модель полезна для проверки формы и расположения частей, однако сама по себе не доказывает правильность решения.
Практическую задачу начинают с выяснения того, что дано и что требуется получить. Нужно перечислить известные точки, рёбра, грани и условия, например принадлежность точки ребру или прохождение плоскости через три точки. Это необходимо, потому что одно и то же изображение может соответствовать разным задачам, а без точных данных легко построить не ту фигуру. Затем выбирают результат: чертёж, сечение, развёртку, модель или вычисленную величину.
Пространственные отношения переносят на плоский чертёж условно. При проецировании объёмной фигуры на листе могут измениться видимые углы и длины, поэтому нельзя по рисунку решать, что рёбра не равны или непараллельны. Сначала учитывают заданные условия и свойства фигуры, а рисунок используют как схему. Скрытые рёбра обычно обозначают пунктиром, чтобы не спутать их с видимыми, но это обозначение не меняет их геометрических свойств.
Сечение строят не произвольным соединением отмеченных точек, а по граням многогранника. На каждой грани секущая плоскость пересекает её по отрезку или не пересекает вовсе; концы отрезка лежат на рёбрах грани либо совпадают с уже найденными точками. Поэтому начинают с известных точек пересечения, находят отрезок на одной грани и переходят через его конец на соседнюю. Так постепенно выявляется весь контур сечения.
Проверка по граням помогает обнаружить пропущенные стороны или неверные соединения. Каждая сторона сечения должна целиком лежать в грани, а соседние стороны должны встречаться в точках границы многогранника. Если многогранник выпуклый, секущая плоскость отсекает внутри него одну связную многоугольную область, поэтому её граница замыкается. Незамкнутая линия обычно означает, что часть контура не найдена, а самопересечение — что точки соединены не в том порядке.
Чертёж или развёртку можно перенести в объём, изготовив модель. Развёртку сгибают по линиям рёбер и сопоставляют стороны, которые должны стать общими; готовую фигуру сравнивают с исходными условиями. Так проще заметить, какие грани соседствуют, где расположены противоположные части и не перепутаны ли обозначения. Модель также позволяет проверить правдоподобие вычислений, но точные выводы всё равно получают из геометрических свойств и обоснования.
| Действие | Что задано | Основной приём | Как проверить результат |
|---|---|---|---|
| Изобразить фигуру | Форма многогранника и его элементы | Показать вершины, рёбра и грани, условно обозначить невидимые рёбра | Сверить обозначения и связи элементов со свойствами фигуры |
| Построить сечение | Многогранник и точки или условия для секущей плоскости | Найти пересечения с рёбрами и построить следы на гранях | Проверить, что стороны лежат в гранях, а контур замкнут |
| Составить развёртку | Многогранник и форма его граней | Расположить грани, соединяя их по общим рёбрам | Сложить развёртку мысленно или практически |
| Изготовить модель | Чертёж или готовая развёртка | Вырезать, согнуть и соединить детали | Сравнить полученную фигуру с условиями задачи |
Пользуйся таблицей как последовательностью действий: сначала уточни данные, затем выбери нужный приём и заранее определи способ проверки. Для сечения важнее всего проверить каждый отрезок по грани, а для развёртки — совпадение рёбер после сгибания. Если результат не проходит проверку, вернись к чертежу и найди шаг, где нарушено условие.
Условие. Нужно изобразить треугольную призму и обозначить на чертеже вершины, рёбра и грани. Обозначим основания ABC и A₁B₁C₁, а боковые рёбра AA₁, BB₁ и CC₁. На плоском рисунке одну из треугольных граней удобно расположить сзади, чтобы было видно, какие рёбра скрыты.
Ответ. Получен чертёж треугольной призмы с обозначенными вершинами, рёбрами и гранями. Условность формы не мешает, если сохранены связи между соответствующими элементами и отдельно показаны скрытые рёбра.
Условие. Секущая плоскость проходит через заданные точки на трёх рёбрах куба. Поскольку конкретное расположение точек не указано, построение описываем для произвольной конфигурации, в которой точки не лежат на одной прямой. Важно не угадывать форму сечения заранее, а находить его стороны на гранях.
Ответ. Сечение — замкнутый многоугольник, вершинами которого служат точки пересечения плоскости с рёбрами куба. Его конкретное число сторон зависит от расположения заданных точек, поэтому без их положения нельзя назвать единственную форму сечения.
Условие. По заданной развёртке нужно изготовить модель многогранника и определить, какие грани окажутся противоположными. Сам рисунок развёртки здесь не задан, поэтому конкретные названия граней определить нельзя. Зато можно применить надёжный способ сборки и отметить противоположные грани для любой развёртки.
Ответ. Противоположными будут грани, которые после сборки обращены друг к другу и не имеют общего ребра. Их конкретные обозначения устанавливают по данной развёртке, сопоставляя рёбра при складывании.
Считать плоский чертёж точным изображением длин и углов — ошибка: при проецировании пространственной фигуры эти величины могут измениться. Так происходит потому, что объём приходится изображать на плоскости. Проверяй отношения по условиям и свойствам многогранника, а не измеряй их на рисунке линейкой или транспортиром.
При построении сечения иногда соединяют точки через разные грани, не проверив, где лежит отрезок. Это кажется естественным, если точки близко расположены на чертеже, но сторона сечения должна находиться в одной грани. Перед проведением линии назови эту грань и убедись, что обе её точки принадлежат ей.
Незамкнутая или самопересекающаяся линия сечения обычно получается из-за неверного порядка соединения точек. Причина — попытка соединить все отмеченные точки сразу, не переходя последовательно от грани к грани. Проверяй, что конец каждой стороны становится началом следующей и последний отрезок возвращает контур к первой вершине.
В развёртке грани могут перекрываться или их рёбра не совпадут при сборке. Часто это происходит, когда развёртку оценивают только по плоскому рисунку и не представляют сгибание. Проверь моделью или мысленно, какая грань поворачивается вокруг каждого ребра, и сопоставь стороны, которые должны соединиться.
Для практических построений нужны знания о многогранниках, их вершинах, рёбрах и гранях, а также о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве. Без этих свойств трудно определить, где проходит сечение и какие элементы фигуры связаны между собой. Работа с сечениями и развёртками подготавливает к задачам на объёмы и площади поверхностей многогранников. Она также помогает анализировать пространственные отношения, которые сложно увидеть на одном плоском чертеже.
Почему на чертеже параллельные в пространстве рёбра могут выглядеть непараллельными?
Чертёж передаёт пространственную фигуру на плоскости, поэтому при проецировании форма может искажаться. Параллельность на рисунке не всегда заметна, и её нужно определять по свойствам фигуры, а не только на глаз.
Как понять, какие точки нужно соединить при построении сечения?
Сначала выясни, на каких гранях лежат заданные точки и где секущая плоскость пересекает рёбра. Соединяй точки только тогда, когда отрезок между ними лежит в одной грани; затем переходи к соседней грани.
Может ли сечение куба быть четырёхугольником?
Да. Например, плоскость, параллельная одной из граней куба, пересекает его по квадрату. В других случаях сечение может быть четырёхугольником иной формы.
Как проверить, правильно ли составлена развёртка?
Мысленно или практически сложи её по рёбрам. Соседние грани должны соединяться соответствующими сторонами, а при складывании грани не должны перекрываться или оставлять незакрытый участок.
Зачем делать модель, если задачу можно решить по чертежу?
Модель помогает увидеть пространственное расположение частей фигуры и заметить ошибки, которые трудно распознать на плоском рисунке. Но она служит проверкой и наглядной опорой, а не заменяет геометрическое обоснование.
Практические задания
