Вопросы к главе III

Определения и обозначения

Перпендикулярными называют прямые, угол между которыми равен 90°. Если прямые пересекаются, угол виден непосредственно; для скрещивающихся прямых проводят через одну из них прямую, параллельную другой, и находят угол между получившимися пересекающимися прямыми. Это определение позволяет говорить о перпендикулярности и тогда, когда прямые не имеют общей точки.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, проходящей через точку их пересечения. На практике достаточно проверить перпендикулярность двум пересекающимся прямым плоскости: это признак перпендикулярности прямой и плоскости. Он превращает проверку свойства всей плоскости в проверку двух направлений.

Перпендикуляр, проведённый из точки вне плоскости, — отрезок, соединяющий эту точку с плоскостью под углом 90°; его конец на плоскости называют основанием. Другой отрезок от исходной точки до точки плоскости называют наклонной. Отрезок от основания перпендикуляра до конца наклонной на плоскости является проекцией наклонной; эти понятия нужны для вычисления расстояний и применения теоремы о трёх перпендикулярах.

Двугранный угол образован двумя полуплоскостями с общей граничной прямой — ребром. Его линейный угол получают, проводя в обеих гранях из одной точки ребра лучи, перпендикулярные ребру; угол между лучами равен величине двугранного угла. Плоскости называют перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Как это устроено

Признак перпендикулярности прямой плоскости работает благодаря двум направлениям внутри плоскости. Пусть прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости. Любая прямая плоскости через точку пересечения этих двух прямых задаёт направление, которое можно представить через их направления. Перпендикулярность к обоим исходным направлениям означает, что прямая перпендикулярна и любому такому направлению, а значит, всей плоскости. Поэтому нельзя заменить две пересекающиеся прямые одной: одна проверка не охватывает плоскость.

Теорема о трёх перпендикулярах связывает наклонную и её проекцию. Пусть AH перпендикулярна плоскости, AB — наклонная, а HB — её проекция на плоскость. Если прямая в плоскости проходит через B и перпендикулярна HB, то она перпендикулярна AB; обратное утверждение тоже верно. Причина видна в прямоугольном треугольнике AHB: составляющая наклонной вдоль плоскости направлена по HB, а другая составляющая AH перпендикулярна всей плоскости. Поэтому прямая, перпендикулярная HB в плоскости, оказывается перпендикулярной и наклонной.

Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра, опущенного из этой точки. Перпендикуляр короче любой наклонной: перпендикуляр и наклонная образуют прямоугольный треугольник, где наклонная является гипотенузой. По теореме Пифагора для наклонной AB, перпендикуляра AH и проекции HB: AB² = AH² + HB². Следовательно, длина наклонной не может служить расстоянием до плоскости, а длину перпендикуляра можно найти, если известны наклонная и её проекция.

Линейный угол позволяет измерить двугранный угол без попытки сравнивать целые плоскости. Его стороны лежат в гранях и перпендикулярны общему ребру, поэтому угол показывает взаимный поворот граней поперёк ребра. Если линейный угол равен 90°, грани перпендикулярны, и плоскости образуют прямой двугранный угол. Чтобы проверить это в задаче, сначала нужно правильно построить линейный угол, а затем определить его величину.

В пространственных задачах признаки перпендикулярности помогают переходить от известных углов к выводам о фигуре. Например, по двум прямым в плоскости доказывают перпендикулярность прямой этой плоскости, а по теореме о трёх перпендикулярах переносят перпендикулярность с проекции на наклонную. Затем прямоугольные треугольники дают нужные длины через теорему Пифагора. Такой порядок удобен: сначала установить геометрические отношения, потом вычислять углы и расстояния.

Признаки и следствия перпендикулярности в пространстве

При работе с таблицей сначала определите, какие объекты даны: прямая и плоскость, две грани или точка и плоскость. Затем найдите подходящий критерий и проверьте, выполнены ли его условия. Не подменяйте построение линейного угла произвольным углом между прямыми.

Разбор задач

Задача 1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ докажите, что ребро AA₁ перпендикулярно плоскости ABCD. Нужно воспользоваться признаком: найти в основании две пересекающиеся прямые и проверить перпендикулярность ребра каждой из них. В кубе боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания, а также можно применить это свойство через грани.

1. Выберем в плоскости ABCD прямые AB и AD. Они пересекаются в точке A и лежат в основании куба.
2. Грань ABB₁A₁ — квадрат, поэтому AA₁ перпендикулярно AB. Грань ADD₁A₁ тоже квадрат, поэтому AA₁ перпендикулярно AD.
3. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости получаем AA₁ ⟂ (ABCD).

Ответ: AA₁ перпендикулярно плоскости ABCD.

Задача 2. Из точки A вне плоскости проведены перпендикуляр AH и наклонная AB. Длина AH равна 5, а проекции HB — 12. Найдите AB. Ищем связь между тремя отрезками, а не складываем их длины: AH перпендикулярен плоскости, значит, и отрезку HB, лежащему в ней.

1. Рассмотрим треугольник AHB. Угол AHB прямой, поэтому AB — гипотенуза.
2. По теореме Пифагора AB² = AH² + HB² = 5² + 12² = 169.
3. Длина отрезка положительна, поэтому AB = √169 = 13.

Ответ: 13.

Задача 3. Пусть AH перпендикулярна плоскости α, AB — наклонная, HB — её проекция. В плоскости α через B проведена прямая m, перпендикулярная HB. Докажите, что прямая m перпендикулярна плоскости β, содержащей AB и m, если через B в β проведена ещё одна прямая n, перпендикулярная m. Здесь важно не смешивать два шага: теорема о трёх перпендикулярах устанавливает связь m и AB, а признак проверяет перпендикулярность плоскости.

1. Так как m лежит в α и m ⟂ HB, по теореме о трёх перпендикулярах m ⟂ AB.
2. По условию m ⟂ n, причём m и n пересекаются в B и лежат в β.
3. Значит, m перпендикулярна двум пересекающимся прямым AB и n плоскости β; по признаку m ⟂ β.

Ответ: m перпендикулярна плоскости β.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что прямой достаточно быть перпендикулярной одной прямой плоскости. Такое условие проверяет только одно направление, а в плоскости есть и другие. Ошибку часто допускают, перенося привычный признак из плоской геометрии на пространство. Проверьте себя: для признака должны быть названы две прямые плоскости, которые пересекаются.

Ошибка — принимать наклонную за перпендикуляр и измерять расстояние до плоскости по ней. Наклонная образует с плоскостью угол, отличный от прямого, поэтому она длиннее перпендикуляра. Различие легко проверить по основанию: перпендикуляр образует угол 90° с плоскостью, а наклонная имеет ненулевую проекцию. Расстояние равно только длине перпендикуляра.

Ошибка — применять теорему о трёх перпендикулярах к отрезку, который не является проекцией наклонной. Теорема связывает конкретную наклонную с отрезком, соединяющим основание перпендикуляра и конец этой наклонной на плоскости. Чтобы проверить себя, обозначьте основание перпендикуляра и оба конца наклонной, а затем убедитесь, что именно между соответствующими точками проходит рассматриваемая проекция.

Ошибка — определять угол между плоскостями по любым двум пересекающимся прямым. Такие прямые могут быть наклонены к ребру и не показывать угол между гранями. Причина ошибки — не учитывать, что двугранный угол измеряют поперёк его ребра. Для проверки постройте в обеих гранях лучи, перпендикулярные ребру, и найдите угол между ними.

Связь с другими темами

Для изучения перпендикулярности нужны аксиомы стереометрии, сведения о взаимном расположении прямых и плоскостей, признаки параллельности и свойства прямоугольного треугольника. В частности, теорема Пифагора помогает вычислять длины, когда перпендикуляр, проекция и наклонная образуют прямоугольный треугольник. Дальше эти знания применяются при изучении многогранников, пространственных углов, расстояний, объёмов и сечений. Они помогают обосновывать, какие элементы фигуры образуют прямой угол, прежде чем переходить к вычислениям.

Что запомнить

• Признак перпендикулярности прямой плоскости проверяют по двум пересекающимся прямым этой плоскости.
• Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра.
• Наклонная, её проекция и перпендикуляр образуют прямоугольный треугольник.
• Теорема о трёх перпендикулярах связывает перпендикулярность в пространстве с проекцией на плоскость.
• Величину двугранного угла измеряют его линейным углом.
• Перпендикулярность плоскостей означает, что угол между ними равен 90°.