§ 1. Понятие вектора в пространстве

Определения и обозначения

Направленный отрезок — отрезок, у которого указаны начало и конец; его обозначают, например, AB с направлением от A к B. Такая запись нужна, чтобы отличать путь от одной точки к другой от того же отрезка, пройденного в обратную сторону. Начало и конец задают направление.

Вектор — направленный отрезок, рассматриваемый с точностью до переноса параллельно самому себе. У вектора есть длина и направление, но неважно, в какой точке пространства он изображён. Благодаря этому вектор можно использовать как общую характеристику перемещения, не привязывая его к одному месту.

Равные векторы — векторы с одинаковой длиной и одинаковым направлением. Они могут быть изображены отрезками, расположенными в разных местах пространства. Такое определение позволяет узнавать один и тот же вектор по его характеристикам, а не по положению на рисунке.

Нулевой вектор — вектор, у которого начало и конец совпадают, поэтому его длина равна нулю. Его изображают отрезком с совпадающими концами. Поскольку перемещения из одной точки в неё же не происходит, направление нулевого вектора не определяется.

Как это устроено

Вектор удобно задавать направленным отрезком, потому что у отрезка уже есть две нужные характеристики: длина и направление от начала к концу. Например, он может описывать перемещение из одной точки пространства в другую. Однако само перемещение можно изобразить и в стороне от исходных точек: если сохранить длину и направление, смысл вектора не изменится. Поэтому в геометрии рассматривают не единственный отрезок, а все его параллельные переносы.

Чтобы проверить равенство двух векторов, нужно сравнить одновременно и их длины, и направления. Если длины равны, а направления различны, векторы не равны: один может указывать, например, вправо, а другой — влево. Если направления совпадают, но длины различаются, векторы тоже не равны, потому что задают перемещения разной величины. Только совпадение обеих характеристик даёт равные векторы.

Вектор обозначают буквами его начала и конца со стрелкой сверху: AB со стрелкой от A к B. В печатном тексте направление можно также назвать словами: «вектор AB». Длину этого вектора обозначают |AB| и называют модулем; для направленного отрезка AB она равна длине обычного отрезка AB. Различие обозначений помогает не смешивать сам вектор, у которого есть направление, и его числовую длину.

Нулевой вектор появляется, когда при движении из точки начало и конец совпадают. Тогда отрезок не имеет протяжённости, а его длина равна нулю. Для ненулевого вектора направление можно определить по порядку точек, но у нулевого нет отличающихся начала и конца. Поэтому направление ему не приписывают, хотя нулевой вектор включают в рассуждения о векторах.

Определения вектора и равенства векторов в пространстве работают так же, как на плоскости: сравнивают длины и направления, а положение отрезков может различаться. На рисунке объёмное пространство обычно показывают плоским изображением, поэтому расположение линии на бумаге не всегда передаёт её пространственное положение буквально. Рисунок помогает представить ситуацию, но не задаёт ограничений на то, где в пространстве может находиться вектор. Проверять равенство нужно по определению, а не по внешнему виду картинки.

Основные характеристики векторов

Сначала определите, какой объект описан: один вектор, нулевой или пара равных векторов. Затем сравните его длину и направление с указанными в условии характеристиками. Для равенства нужно совпадение обоих параметров, а для нулевого вектора направление не указывают.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображены направленные отрезки AB и CD. Длины AB и CD равны, направления совпадают. Являются ли соответствующие векторы равными? Решим, опираясь на два условия равенства. При этом положение отрезков в пространстве значения не имеет.

1. Сравним длины: по условию длины AB и CD равны.
2. Сравним направления: по условию они совпадают.
3. Оба необходимых условия выполнены, значит, векторы равны.

Ответ: да, векторы AB и CD равны.

Задача 2. Точки A и B различны. Назвать начало и конец вектора AB и записать его длину. В обозначении вектора порядок букв показывает направление, поэтому переставлять точки нельзя. Длину нужно записать отдельно от самого вектора.

1. Первая буква, A, указывает начало направленного отрезка.
2. Вторая буква, B, указывает его конец.
3. Модуль вектора AB равен длине изображающего его отрезка AB, поэтому записываем |AB|.

Ответ: начало — A, конец — B; длина вектора AB равна длине отрезка AB и обозначается |AB|.

Задача 3. Точки A, B и C расположены в пространстве, причём направленные отрезки AB и BC равны по длине и направлению. Какой вектор равен вектору AB и почему? Здесь важно не то, что отрезки имеют общую точку B, а совпадение двух характеристик. Расположение точек в пространстве не меняет определение равенства.

1. По условию длина отрезка BC равна длине отрезка AB.
2. Направление от B к C совпадает с направлением от A к B.
3. Значит, оба условия равенства векторов выполнены, и вектор BC равен вектору AB.

Ответ: вектор BC равен вектору AB, потому что их длины и направления совпадают.

Типичные ошибки

Считать векторы равными только из-за одинаковой длины — ошибка: направления могут различаться. Так думают, когда сравнивают лишь размер отрезков. Проверьте себя: у равных векторов должны совпадать обе характеристики, и длина, и направление.

Требовать, чтобы у равных векторов было общее начало, тоже неверно. Это впечатление возникает, если смотреть только на конкретный рисунок, хотя вектор можно перенести параллельно самому себе. Для проверки сравните длины и направления, даже если точки начала разные.

Векторы AB и BA часто путают, потому что они изображены одним и тем же отрезком. Но порядок букв задаёт направление: у этих векторов оно противоположно, хотя длины совпадают. Проверьте, от какой точки к какой направлена стрелка, а не только на какой отрезок она нанесена.

Нулевому вектору нельзя назначить определённое направление. Ошибка появляется, если считать, что любой вектор обязан указывать из одной точки в другую. У нулевого вектора точки начала и конца совпадают, длина равна нулю, поэтому направление не задаётся.

Связь с другими темами

Для работы с векторами нужно уметь различать точки и отрезки, находить длину отрезка и определять направление от одной точки к другой. Эти знания позволяют понять, какие характеристики сравнивать и как читать обозначение вектора. Далее векторы понадобятся при изучении сложения и вычитания, умножения вектора на число и координатного метода в пространстве. Новые действия будут опираться на длину и направление вектора.

Что запомнить

• Вектор задаётся длиной и направлением.
• Вектор изображают направленным отрезком.
• Равные векторы имеют одинаковую длину и одинаковое направление.
• Равные векторы могут иметь разные начала.
• Длина вектора — это длина изображающего его отрезка.
• У нулевого вектора длина равна нулю, а направление не определено.