§ 1. Понятие вектора в пространстве

Определения и обозначения

Направленный отрезок — это отрезок, у которого указаны начало и конец. Его обозначают двумя буквами со стрелкой сверху: вектор AB начинается в точке A и заканчивается в точке B. Стрелка показывает, в какую сторону нужно двигаться, а порядок букв помогает не перепутать начало с концом.

Вектор — направленный отрезок в пространстве. Например, вектор AB обозначает отрезок, направленный от A к B, а тот же объект можно обозначить строчной буквой a. Такое понятие нужно, чтобы описывать не только расстояние между точками, но и направление перемещения.

Длина вектора — длина соответствующего ему отрезка. Её записывают как |a| или |AB|; это расстояние от начала вектора до его конца. Длина позволяет сравнивать величину перемещений, не смешивая её с направлением.

Равные векторы — векторы с одинаковыми длиной и направлением, независимо от их положения в пространстве. Поэтому они могут начинаться в разных точках, но описывать одно и то же по величине и направлению перемещение. Это свойство позволяет переносить вектор, не меняя его.

Как это устроено

Обычный отрезок задаёт расстояние между двумя точками, но сам по себе не выделяет, от какой точки считать движение. Если назначить одну точку началом, а другую концом, отрезок получает ориентацию и становится направленным. При перестановке точек ориентация меняется: вектор BA направлен обратно вектору AB, хотя оба отрезка имеют одну длину.

Длина вектора определяется только расстоянием между его началом и концом, потому что именно это расстояние задаёт длину соответствующего отрезка. Запись |AB| или |a| меняет способ назвать объект, но не меняет его геометрический размер. Например, если обозначение вектора заменили с вектор AB на a, расстояние между его концами осталось прежним.

Равные векторы можно переносить параллельно самим себе: при переносе сохраняются и длина, и направление. Перемещение меняет положение отрезка в пространстве, но не его геометрические характеристики. Поэтому для сравнения векторов не требуется, чтобы они начинались в одной точке: достаточно мысленно совместить их параллельным переносом и проверить совпадение.

У нулевого вектора начало и конец совпадают, поэтому отрезок между ними имеет длину нуль. Направление описывает, куда идти от начала к отличной от него конечной точке, но в нулевом случае перемещения нет. Значит, направление нулевого вектора отдельно не определяется, хотя такой вектор можно обозначить.

Носителем вектора называют прямую, на которой лежит соответствующий отрезок. Векторы коллинеарны, если их носители параллельны или совпадают: поэтому направленные отрезки не обязаны находиться на одной прямой. На параллельных прямых направления могут быть сонаправленными или противоположными; сама коллинеарность не сообщает ни длину, ни то, куда указывает каждый вектор.

Основные понятия и признаки векторов в пространстве

Сначала определите, какие свойства требуется сравнить: длину, направление или положение носителей. Для равенства проверьте первые два свойства одновременно, а для коллинеарности — параллельность носителей. Таблица помогает не принимать один признак за другой.

Разбор задач

Задача 1. Для точек A и B определите, какие записи обозначают один и тот же направленный отрезок: AB, BA, |AB|, вектор AB. Нужно отличить сам отрезок от его длины и от вектора с заданным направлением. Сравните не только буквы, но и смысл каждой записи.

1. Запись AB без стрелки обозначает обычный отрезок с концами A и B, а порядок букв сам по себе не задаёт направление. Запись BA обозначает тот же отрезок, если речь идёт об отрезке.

2. Запись |AB| означает длину отрезка AB — число, а не сам отрезок и не направленный объект. Поэтому она не может обозначать тот же направленный отрезок.

3. Слова «вектор AB» обозначают направленный отрезок от A к B. Среди предложенных записей именно эта задаёт направление и потому является вектором.

Ответ: AB и BA обозначают один и тот же обычный отрезок; |AB| — его длину; вектор AB — направленный отрезок от A к B.

Задача 2. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите все векторы, равные вектору AB. Переносить вектор можно, если сохраняются его длина и направление. Сначала найдите рёбра, параллельные AB, а затем проверьте, куда направлены соответствующие векторы.

1. У параллелепипеда противоположные рёбра равны и параллельны. Рёбра DC, A₁B₁ и D₁C₁ имеют длину AB и параллельны ему.

2. Сравните направления: векторы DC, A₁B₁ и D₁C₁ направлены так же, как вектор AB, если точки перечислены именно в указанном порядке. Обратные записи, например CD, направлены противоположно и не подходят.

3. К вектору AB добавьте сам вектор AB. Другие рёбра параллелепипеда либо не параллельны AB, либо при обратном порядке букв имеют противоположное направление.

Ответ: вектору AB равны векторы AB, DC, A₁B₁ и D₁C₁.

Задача 3. В тетраэдре ABCD укажите пары коллинеарных векторов и выясните, какие из них сонаправлены, а какие противоположно направлены. У тетраэдра нет параллельных рёбер: любые два ребра, не лежащие на одной прямой, задают разные направления. Поэтому коллинеарные векторы здесь связаны с одним и тем же ребром.

1. На каждом ребре рассмотрите два направления: например, векторы AB и BA. Их носители совпадают, значит, они коллинеарны.

2. Направления векторов AB и BA противоположны, поскольку один идёт от A к B, а другой — от B к A. Точно так же устроены пары BC и CB, AC и CA, а также пары для рёбер AD, BD и CD.

3. Сонаправленных различных векторов на одном ребре нет: для каждого ребра заданы только противоположные направления. Векторы на разных рёбрах тетраэдра не коллинеарны.

Ответ: пары коллинеарных векторов — AB и BA, AC и CA, AD и DA, BC и CB, BD и DB, CD и DC; в каждой паре векторы противоположно направлены.

Типичные ошибки

Считать векторы равными только из-за одинаковой длины — значит забыть о направлении. Эту ошибку допускают, когда сравнивают лишь размеры отрезков. Проверьте себя: мысленно перенесите один вектор параллельно и убедитесь, что стрелки тоже смотрят в одну сторону.

Путать векторы AB и BA нельзя: перестановка букв меняет начало и конец местами. Длина при этом остаётся прежней, и из-за этого легко не заметить смену направления. Чтобы проверить запись, прочитайте её как движение: из A в B или из B в A.

Коллинеарность не означает равенства: она говорит только о том, что носители параллельны или совпадают. Эту ошибку допускают, принимая параллельность за совпадение всех свойств вектора. Для проверки отдельно сравните длину и направление — без этих условий равенство не установлено.

Нулевому вектору не приписывают определённое направление, хотя он и обозначается как вектор. Иногда направление пытаются найти по положению точки, но у такого вектора начало совпадает с концом. Проверьте длину: она равна нулю, а перемещения в какую-либо сторону нет.

Связь с другими темами

Для начала достаточно знать, что такое отрезок, прямая, луч, расстояние и параллельные прямые в пространстве. Эти понятия нужны, чтобы понимать, где лежит носитель вектора и как задаются его длина и направление. Дальше векторы используют при изучении сложения и вычитания, умножения на число и координат вектора.

С помощью векторов описывают параллельность прямых и плоскостей и взаимное расположение пространственных объектов. Знание равенства и коллинеарности помогает переводить геометрические отношения в понятные условия для дальнейших рассуждений. Поэтому определения из этой темы станут основой для следующих разделов.

Что запомнить

• Вектор — это направленный отрезок.
• Вектор обозначают двумя буквами со стрелкой или одной строчной буквой.
• Длина вектора равна длине соответствующего отрезка.
• Равные векторы имеют одинаковые длину и направление.
• Нулевой вектор имеет длину нуль, его начало и конец совпадают.
• Коллинеарные векторы лежат на одной или параллельных прямых.
• Равные векторы можно переносить параллельно самим себе.