41. Четырехугольник

Определения и обозначения

Четырехугольник — фигура, образованная четырьмя точками и отрезками, которые соединяют эти точки последовательно. Точки называют вершинами, а отрезки — сторонами. Соседние стороны имеют общую вершину, потому что в последовательной цепочке отрезков конец одного отрезка становится началом следующего. Например, стороны AB и BC встречаются в точке B.

Вершины четырехугольника обозначают заглавными латинскими буквами и перечисляют по порядку, например ABCD. Стороны называют по их концам: AB, BC, CD и DA. Такое обозначение помогает сразу понять, какие отрезки образуют контур фигуры и какие стороны соседствуют. Если изменить порядок букв произвольно, это может запутать при чтении задачи.

Противоположные вершины и стороны не соседствуют по контуру. У ABCD противоположны вершины A и C, B и D, а стороны AB и CD, BC и AD не имеют общей вершины. Это различие нужно, чтобы правильно находить диагонали и описывать расположение частей фигуры. Соседние элементы, напротив, соприкасаются в общей вершине.

Диагональ — отрезок, соединяющий две противоположные вершины; у ABCD это AC и BD. Выпуклым называют четырехугольник, который лежит по одну сторону от прямой каждой своей стороны. Это условие помогает отличить обычный выпуклый контур от фигуры с «вмятиной». Для выпуклого четырехугольника можно применять правило о сумме внутренних углов, которое понадобится в задачах.

Как это устроено

Вершины записывают последовательно, потому что четырехугольник состоит из замкнутой цепочки сторон. Запись ABCD означает, что после AB идет BC, затем CD и сторона DA возвращает нас к начальной вершине. Так порядок букв показывает контур, а не просто перечисляет четыре точки. Благодаря этому легко заметить, какие стороны имеют общую вершину.

Диагональ проводят между противоположными вершинами, поскольку отрезок между соседними уже является частью границы, то есть стороной. Например, в ABCD отрезки AC и BD проходят через внутреннюю часть фигуры и соединяют вершины через одну. Диагональ AC разбивает четырехугольник на треугольники ABC и ACD. Это удобно: свойства треугольников позволяют рассуждать о фигуре, для которой таких правил напрямую пока нет.

Чтобы найти сумму углов выпуклого четырехугольника, проведем диагональ AC. В первом треугольнике ABC сумма углов равна 180°, и во втором, ACD, она тоже равна 180°. Углы этих треугольников вместе составляют все четыре внутренних угла ABCD: углы при A и C разделены диагональю, а углы при B и D входят в один треугольник каждый. Поэтому сумма углов четырехугольника равна 180° + 180° = 360°.

Полученное число не зависит от того, вытянутый четырехугольник или почти квадрат: диагональ по-прежнему делит выпуклую фигуру на два треугольника. А у каждого треугольника сумма углов неизменно равна 180°. Меняется величина отдельных углов, но их общая сумма остаётся той же. Поэтому по трём углам можно вычислить четвёртый, не зная длин сторон.

На рисунке выпуклый четырехугольник не имеет «вмятины»: его диагонали проходят внутри фигуры, а сама фигура находится по одну сторону от прямой каждой стороны. Если часть контура загибается внутрь, фигура невыпуклая. Проверка выпуклости нужна потому, что вывод о сумме 360° строится на разбиении фигуры диагональю на два треугольника, покрывающих её без выхода за контур и наложения. Поэтому нельзя применять теорему к любой фигуре с четырьмя сторонами, не проверив условие.

Элементы четырехугольника

Сначала найдите вершины и прочитайте их названия по контуру, а затем по таблице определите нужные отрезки. Если у двух сторон общая буква, они соседние; если общей буквы нет, они противоположные. Такая проверка помогает не перепутать диагональ со стороной.

Разбор задач

Задача 1

Условие: в четырехугольнике ABCD найдите сумму внутренних углов. В условии не сказано о невыпуклости, поэтому рассматриваем выпуклый четырехугольник. Для него диагональ делит фигуру на два треугольника, а сумма углов каждого известна. Так можно обосновать ответ, а не угадывать его по виду фигуры.

1. Проведём диагональ AC: она разделит ABCD на треугольники ABC и ACD.
2. Сумма углов треугольника ABC равна 180°, и сумма углов треугольника ACD также равна 180°.
3. Вместе углы этих треугольников составляют все внутренние углы четырехугольника, поэтому 180° + 180° = 360°.

Ответ: сумма внутренних углов выпуклого четырехугольника ABCD равна 360°.

Задача 2

Условие: три угла выпуклого четырехугольника равны 80°, 95° и 110°. Найдите четвертый угол. Сначала используем сумму углов выпуклого четырехугольника, равную 360°. Затем найдём, какая часть этой суммы приходится на три известных угла, и вычтем её из общей суммы.

1. Сложим известные углы: 80° + 95° + 110° = 285°.
2. Вычтем их сумму из 360°: 360° − 285° = 75°.
3. Проверим: 80° + 95° + 110° + 75° = 360°, значит, вычисление согласуется с правилом.

Ответ: четвертый угол равен 75°.

Задача 3

Условие: диагональ AC выпуклого четырехугольника ABCD образует треугольники ABC и ACD. В треугольнике ABC углы при A и B равны 35° и 70°; угол CAD равен 40°, угол ACD равен 65°. Найдите угол D. Удобно сначала полностью рассмотреть треугольник ABC, чтобы узнать его третий угол. Затем сложить части угла при C и применить сумму углов четырехугольника.

1. В треугольнике ABC найдём угол ACB: 180° − 35° − 70° = 75°.
2. Угол BCD состоит из углов BCA и ACD, поэтому BCD = 75° + 65° = 140°.
3. Угол при A четырехугольника разделён диагональю на CAD и CAB: 40° + 35° = 75°. Тогда угол D равен 360° − 75° − 70° − 140° = 75°.

Ответ: угол D равен 75°.

Типичные ошибки

Можно принять противоположные стороны за соседние или наоборот. Ошибка возникает, если смотреть только на буквы, не проверяя общую вершину. У соседних сторон она есть, а у противоположных её нет. Например, у AB и BC общая точка B, а у AB и CD общей точки нет.

Иногда диагональю называют отрезок между соседними вершинами. Его легко заметить по буквам, но он уже образует край четырехугольника и потому является стороной. Проверьте концы отрезка: если они соседствуют по контуру, это сторона; если между ними есть ещё одна вершина, это диагональ.

Другая ошибка — считать сумму углов четырехугольника равной 180°. Это число относится к треугольнику, а четырехугольник диагональю делится на два треугольника, поэтому для выпуклой фигуры сумма равна 360°. Для проверки сложите углы двух полученных треугольников: 180° + 180°.

Наконец, нельзя без проверки применять правило о сумме углов выпуклого четырехугольника к невыпуклой фигуре. Вмятина означает, что фигура не лежит по одну сторону от прямой каждой стороны, и привычное разбиение диагональю может не дать два треугольника внутри контура. Перед вычислениями проверьте выпуклость по определению. Если условие задачи говорит «выпуклый», это условие уже выполнено.

Связь с другими темами

Для работы с четырехугольниками нужно уметь обозначать точки и отрезки, а также различать вершины, стороны и углы фигуры. Последовательное обозначение буквами помогает описывать контур без рисунка и понимать условие задачи. Особенно важно видеть, какие элементы имеют общую вершину.

Главное правило о сумме углов четырехугольника опирается на сумму углов треугольника. Диагональ превращает задачу о четырехугольнике в две задачи о треугольниках, для которых уже известно, что сумма углов равна 180°. Тот же способ рассуждения пригодится при изучении других многоугольников: их тоже можно разбивать на треугольники.

Что запомнить

• Вершины четырехугольника обозначают последовательно по контуру.
• У четырехугольника четыре стороны, четыре вершины и две диагонали.
• Диагональ соединяет противоположные вершины.
• Диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два треугольника.
• Сумма внутренних углов выпуклого четырехугольника равна 360°.
• Если известны три угла выпуклого четырехугольника, четвертый можно найти вычитанием их суммы из 360°.