§3. Прямоугольник, ромб, квадрат

Определения и обозначения

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые, то есть равны 90°. Его вершины обычно обозначают по порядку буквами A, B, C, D и называют ABCD. Поскольку прямоугольник является параллелограммом, его противоположные стороны равны: AB = CD и BC = AD. Это определение помогает отличить прямоугольник от параллелограмма с наклонными углами.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны: AB = BC = CD = DA. Вершины ромба также обозначают по порядку, например ABCD, а его диагонали соединяют противоположные вершины. Ромб сохраняет свойства параллелограмма: противоположные стороны параллельны, противоположные углы равны, а диагонали делят друг друга пополам. Определение позволяет распознать ромб даже тогда, когда его углы не прямые.

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны; его также можно определить как ромб с прямыми углами. Значит, у квадрата четыре прямых угла и четыре равные стороны. Он сочетает свойства обеих фигур: например, его диагонали равны, как у прямоугольника, и перпендикулярны, как у ромба. Это удобно, когда в задаче о квадрате можно выбрать любое из двух определений.

Как это устроено

Представим параллелограмм, у которого угол A прямой. Соседний с ним угол B в сумме с ним составляет 180°, поэтому угол B тоже прямой. Противоположные углы параллелограмма равны, значит, угол C равен углу A, а угол D — углу B. Так все четыре угла оказываются прямыми, и параллелограмм по определению становится прямоугольником.

Рассмотрим прямоугольник ABCD и его диагонали AC и BD. Чтобы сравнить их, возьмём треугольники ABC и BAD: у них сторона AB общая, стороны BC и AD равны как противоположные стороны параллелограмма, а углы ABC и BAD прямые. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому их третьи стороны AC и BD равны — так получаем равенство диагоналей прямоугольника.

Пусть диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. Как у любого параллелограмма, они делят друг друга пополам, поэтому AO = OC и BO = OD. Треугольники AOB и AOD равны по трём сторонам: AB = AD, AO — общая сторона, BO = DO. Из равенства следует, что углы AOB и AOD равны; вместе они составляют развёрнутый угол 180°, поэтому каждый равен 90° и диагонали перпендикулярны. Равенство треугольников также показывает, что диагональ AC делит угол A пополам; аналогично диагонали делят пополам остальные углы.

Квадрат одновременно является прямоугольником и ромбом, поэтому свойства его диагоналей складываются. Как у прямоугольника, диагонали квадрата равны; как у ромба — перпендикулярны и делят углы пополам. Диагонали любого параллелограмма, а значит, и квадрата, делят друг друга пополам. Поэтому в задаче о квадрате можно использовать сразу все эти свойства, выбирая подходящее к условию.

Прямоугольник и ромб — частные случаи параллелограмма, то есть фигуры, которые удовлетворяют его определению и дополнительно имеют особое свойство. Для прямоугольника таким условием служат прямые углы, для ромба — равенство всех сторон. Квадрат отвечает обоим условиям одновременно. Поэтому каждый квадрат является и прямоугольником, и ромбом, но не каждый прямоугольник или ромб является квадратом.

Свойства прямоугольника, ромба и квадрата

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите, какая фигура дана, а затем выберите только относящиеся к ней свойства. Отметка «не обязательно» означает, что свойство может выполняться у отдельных фигур, но не следует из одного лишь определения. Если дана квадратная фигура, можно применять свойства и прямоугольника, и ромба.

Разбор задач

Задача 1. В прямоугольнике ABCD угол A равен 90°. Найдите остальные углы. Нужно определить, какие свойства углов можно использовать: известный угол уже прямой, а все углы прямоугольника по определению прямые. Можно также проверить ответ через свойства параллелограмма.

1. Так как ABCD — прямоугольник, каждый его угол равен 90°.
2. Следовательно, угол B, угол C и угол D также равны 90°. Проверка: соседние углы дополняют друг друга до 180°, а противоположные углы равны.

Ответ: угол B = угол C = угол D = 90°. Условие об угле A согласуется с определением прямоугольника и не меняет значения остальных углов.

Задача 2. В ромбе диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что треугольник AOB прямоугольный, если A и B — соседние вершины ромба. Чтобы выяснить, какой угол треугольника нужно показать прямым, заметим: O лежит на диагоналях, поэтому стороны OA и OB идут вдоль диагоналей. Из свойства диагоналей ромба они перпендикулярны.

1. Диагонали ромба AC и BD пересекаются в точке O.
2. Диагонали ромба перпендикулярны, значит, AC ⟂ BD. Поэтому угол AOB между лучами OA и OB равен 90°.
3. В треугольнике AOB есть прямой угол, следовательно, треугольник AOB прямоугольный.

Ответ: треугольник AOB прямоугольный, его прямой угол — AOB. Для доказательства не требуется знать длины сторон ромба: достаточно свойства его диагоналей.

Задача 3. Диагональ прямоугольника равна 10 см, одна сторона — 6 см. Найдите вторую сторону. Диагональ вместе с двумя сторонами образует прямоугольный треугольник: стороны прямоугольника являются катетами, а диагональ — гипотенузой. Обозначим неизвестную сторону через x и применим теорему Пифагора.

1. Запишем равенство для прямоугольного треугольника: 6² + x² = 10².
2. Получим 36 + x² = 100, значит, x² = 64.
3. Длина стороны положительна, поэтому x = 8 см.

Ответ: вторая сторона прямоугольника равна 8 см. Проверка: 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10², значит, найденные длины подходят.

Типичные ошибки

Не всякий параллелограмм с равными диагоналями является квадратом. Равенство диагоналей указывает на прямоугольник, но его соседние стороны могут иметь разные длины. Ошибка возникает, когда свойство одной фигуры принимают за признак сразу двух фигур. Проверьте, есть ли в условии отдельное основание считать все стороны равными.

Диагонали ромба не обязательно равны: они перпендикулярны и делят углы пополам, но могут различаться по длине. Их равенство получается у квадрата, который является особым ромбом с прямыми углами. Путаница появляется, когда все свойства квадрата переносят на любой ромб. Перед выводом уточните, сказано ли в условии, что ромб — квадрат.

У прямоугольника диагонали равны и делят друг друга пополам, но не обязаны пересекаться под прямым углом. Перпендикулярность диагоналей характерна для ромба, а у прямоугольника она появляется, например, когда он является квадратом. Эти свойства легко спутать, потому что квадрат обладает ими обоими. Сверяйте каждое утверждение с видом фигуры, а не только с тем, что она является параллелограммом.

Квадрат нельзя относить только к прямоугольникам или только к ромбам: он отвечает обоим определениям. Иногда о второй принадлежности забывают, потому что в задаче подчёркнуто лишь одно свойство квадрата. Проверьте, есть ли у него одновременно прямые углы и равные стороны. Если да, допустимо использовать свойства обеих фигур.

Связь с другими темами

Для изучения прямоугольника, ромба и квадрата нужно знать определение параллелограмма и свойства его сторон, углов и диагоналей. При доказательствах пригодятся признаки равенства треугольников: с их помощью устанавливают равенство диагоналей или углов. Эти фигуры часто встречаются в задачах на стороны, углы и диагонали четырёхугольников. Позже свойства прямоугольника и ромба помогут при изучении площадей фигур и других тем геометрии на плоскости.

Что запомнить

• Прямоугольник — параллелограмм с прямыми углами.
• Диагонали прямоугольника равны и делят друг друга пополам.
• Ромб — параллелограмм с равными сторонами.
• Диагонали ромба перпендикулярны, делят друг друга пополам и делят углы пополам.
• Квадрат — и прямоугольник, и ромб.
• У квадрата диагонали равны, перпендикулярны и делят углы пополам.