§ 5. Полоса. Геометрическое место точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от прямой

Определения и обозначения

Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Перпендикуляр пересекает прямую под прямым углом, поэтому такое расстояние обозначают, например, как расстояние от точки M до прямой a. Это определение позволяет однозначно сравнивать удалённость точек от прямой.

Полоса — часть плоскости, ограниченная двумя параллельными прямыми. Эти прямые называют границами полосы, а расстояние между ними — шириной полосы. Понятие помогает выделить на плоскости область, в которой точки имеют определённое положение относительно двух параллельных линий.

Геометрическое место точек — множество всех точек, обладающих одним общим свойством. Например, можно искать все точки, находящиеся от данной прямой на одинаковом расстоянии. Такое описание заменяет перечисление бесконечного числа точек их общим геометрическим образом.

Геометрическое место точек, находящихся на расстоянии a от прямой, — две прямые, параллельные данной и удалённые от неё на расстояние a, если a > 0. Одна прямая располагается по одну сторону от исходной, другая — по другую. Они показывают все возможные положения точек с этим расстоянием.

Как это устроено

Расстояние от точки до прямой измеряют по перпендикуляру, потому что среди всех отрезков, соединяющих точку с прямой, именно перпендикуляр является кратчайшим. Если провести наклонный отрезок, вместе с перпендикуляром получится прямоугольный треугольник. Наклонный отрезок будет его гипотенузой, а гипотенуза длиннее катета, поэтому такой отрезок не даёт истинного расстояния.

Чтобы построить точки на расстоянии a от прямой, сначала выберем любую точку на ней и проведём через неё перпендикуляр. На этом перпендикуляре отложим от исходной прямой два отрезка длиной a: один в одну сторону, другой в противоположную. Через полученные точки проведём прямые, параллельные исходной, используя признак или известное построение параллельных прямых.

Все точки каждой построенной параллельной прямой находятся на расстоянии a от исходной. Действительно, расстояние между параллельными прямыми постоянно и измеряется их общим перпендикуляром. Поэтому из любой точки одной границы можно опустить на исходную прямую перпендикуляр длиной a; то же рассуждение действует для второй границы.

Докажем, что других точек с таким свойством нет. Пусть точка находится на расстоянии a от исходной прямой, тогда её перпендикулярный отрезок к этой прямой имеет длину a. Через точку, отложенную на расстоянии a на выбранном перпендикуляре, проходит единственная прямая, параллельная исходной, поэтому точка окажется на одной из двух построенных прямых — в зависимости от стороны.

Две параллельные прямые образуют полосу, а расстояние между ними равно её ширине. Если исходная прямая расположена посередине, то расстояние от неё до каждой границы равно половине ширины, то есть при расстоянии a ширина полосы равна 2a. Внутри полосы расстояние до исходной прямой меньше a, на границе оно равно a, а вне полосы — больше a.

Полоса и геометрическое место точек на заданном расстоянии от прямой

В таблице сопоставлены основные объекты и положения точек. При решении задачи сначала определите, идёт ли речь о всей полосе, её границе или о точном расстоянии до исходной прямой. Затем используйте соответствующую строку и сравните расстояния.

Разбор задач

Задача 1

Условие: даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 6 см. Нужно определить ширину полосы и расстояние от её средней линии до каждой границы. Полоса ограничена именно этими прямыми, поэтому её ширина уже указана в условии.

1. Расстояние между границами параллельных прямых равно ширине полосы.
2. Значит, ширина полосы составляет 6 см.
3. Средняя линия равноудалена от обеих границ и делит ширину пополам: 6 : 2 = 3 см.

Ответ: ширина полосы равна 6 см, расстояние от средней линии до каждой границы — 3 см. Проверка проста: два одинаковых отрезка по 3 см дают всю ширину 6 см.

Задача 2

Условие: построить геометрическое место точек, находящихся на расстоянии 3 см от прямой a. Требуется получить все точки, поэтому нельзя ограничиться одной стороной прямой.

1. Выберите точку на прямой a и проведите через неё перпендикуляр к a.
2. На перпендикуляре отложите от прямой a отрезки по 3 см в обе стороны и отметьте полученные точки.
3. Через каждую отмеченную точку проведите прямую, параллельную a.
4. Проверьте построение: расстояние между каждой новой прямой и a должно быть равно 3 см.

Ответ: геометрическое место — две прямые, параллельные a и расположенные по разные стороны от неё на расстоянии 3 см. Вместе с прямой a они ограничивают полосу шириной 6 см.

Задача 3

Условие: точка M находится на расстоянии 4 см от прямой a, а точка N — внутри полосы, ограниченной прямыми, удалёнными от a на 4 см. Нужно выяснить, может ли N принадлежать геометрическому месту точек на расстоянии 4 см от a.

1. Геометрическое место точек на расстоянии 4 см от a состоит из двух границ полосы.
2. Точка N находится внутри полосы, а не на одной из её границ.
3. Для внутренней точки расстояние до a меньше 4 см, поэтому требуемое свойство не выполняется.

Ответ: N не может принадлежать этому геометрическому месту. Точка M принадлежит ему, потому что её расстояние до a равно 4 см; её положение должно быть на одной из двух параллельных границ.

Типичные ошибки

Ошибка 1. За расстояние от точки до прямой принимают длину любого отрезка, соединяющего точку с прямой. Так делают, потому что визуально наклонный отрезок тоже «доходит» до прямой, но он длиннее перпендикуляра. Проверьте себя: угол между измеряемым отрезком и прямой должен быть равен 90°.

Ошибка 2. Строят только одну параллельную прямую на заданном расстоянии. Причина — забывают, что от исходной прямой можно отложить расстояние в двух противоположных направлениях. Проверьте построение: у геометрического места при a > 0 должны быть две прямые, по одной с каждой стороны.

Ошибка 3. Полосу путают с двумя её границами и считают, что в неё входят только прямые. Границы действительно являются частью полосы, но полоса включает и всю область между ними. Для проверки отметьте точку между границами: она тоже принадлежит полосе.

Ошибка 4. Считают, что любая внутренняя точка полосы равноудалена от исходной прямой. Такое мнение возникает из-за того, что границы находятся на одинаковом расстоянии, однако внутри расстояние меняется от точки к точке. Проверьте положение: внутри оно меньше расстояния до границы, а равным a бывает только на границе.

Связь с другими темами

Для изучения полосы нужны определения перпендикулярных и параллельных прямых, а также понятие расстояния между параллельными прямыми. Построение геометрического места опирается на умение проводить параллельную прямую через заданную точку.

Тема пригодится в задачах на геометрические места точек и построения. Она помогает определять взаимное расположение прямых и быстро находить области, где может находиться искомая точка.

Понятие полосы связано с расстояниями и областями плоскости. В координатной геометрии аналогом полосы служат области, заданные неравенствами, например между двумя параллельными линиями.

Что запомнить

• Расстояние от точки до прямой измеряют по перпендикуляру.
• Полоса ограничена двумя параллельными прямыми.
• Границы полосы параллельны друг другу.
• Геометрическое место точек на расстоянии a от прямой состоит из двух параллельных прямых.
• Эти прямые расположены по разные стороны от исходной.
• Расстояние между каждой из них и исходной прямой равно a.
• При a = 0 геометрическим местом является сама исходная прямая.