§ 4. Виды движений

Определения и обозначения

Осевая симметрия — соответствие точек относительно прямой, при котором прямая является серединным перпендикуляром к отрезку между точкой и её образом. Иначе говоря, она пересекает этот отрезок под прямым углом и делит его пополам. Такое определение помогает точно построить отражённую точку.

Центральная симметрия — соответствие точек относительно центра, который является серединой отрезка между точкой и её образом. Центр лежит между этими точками и находится от них на одинаковом расстоянии. Это правило позволяет находить образ точки без измерения углов.

Параллельный перенос — преобразование, при котором все точки перемещаются на один и тот же вектор. Вектор задаёт направление смещения и его длину. Определение нужно, чтобы переносить не отдельные точки произвольно, а всю фигуру одинаково.

Поворот — преобразование относительно заданного центра на заданный угол. При нём точка переходит в образ, поворачиваясь вокруг этого центра. Чтобы выполнить поворот, необходимо знать и центр, и угол: одного из этих условий недостаточно.

Как это устроено

Движение плоскости сохраняет расстояния между любыми двумя точками. Если выбрать две точки фигуры, то после преобразования расстояние между их образами будет таким же, как раньше. Поэтому не меняются длины сторон и диагоналей, а также величины углов: их стороны сохраняют свои длины и взаимное расположение. Значит, фигура может переместиться или развернуться, но не растянется и не сплющится.

При осевой симметрии образ точки строят на перпендикуляре к оси. Ось делит пополам отрезок от исходной точки до образа, поэтому расстояние от точки до оси и от образа до оси одинаково. Сначала опускают перпендикуляр, затем продолжают его за ось и откладывают равный отрезок. Точки самой оси не смещаются, потому что расстояние от них до оси равно нулю.

При центральной симметрии исходная точка, центр и образ лежат на одной прямой. Образ находится по другую сторону центра на таком же расстоянии, поэтому центр оказывается серединой соединяющего их отрезка. Это свойство позволяет строить образ, продолжив прямую через точку и центр. Сам центр при таком преобразовании остаётся на месте.

Параллельный перенос задаётся направлением и длиной вектора. Каждый отрезок, соединяющий точку с её образом, равен этому вектору и направлен так же, как он. Благодаря одинаковому смещению расстояния между точками сохраняются, а стороны фигуры остаются параллельными прежним сторонам. Поэтому фигура не меняет ни форму, ни ориентацию, а только положение.

Поворот задаётся центром и углом. При повороте расстояние каждой точки до центра не меняется: исходная точка и её образ лежат на одной окружности с центром поворота. Луч от центра к точке поворачивается на один и тот же угол, поэтому все точки фигуры разворачиваются согласованно. Расстояния между точками при этом сохраняются, поскольку поворот меняет направление, но не растягивает фигуру.

Сравнение видов движений

Сначала найдите в таблице, какие данные заданы в условии: по ним можно определить вид движения. Затем сверьте способ построения образа точки и проверьте, что нужные расстояния и углы сохранились. Строка об ориентации помогает понять, меняется ли порядок обхода вершин фигуры.

Разбор задач

Задача 1. Постройте образ точки A при осевой симметрии относительно прямой l. Нужно получить точку A′ так, чтобы прямая l делила отрезок AA′ пополам под прямым углом. Поэтому сначала определим, где отрезок AA′ должен пересекать ось.

1. Через точку A проведите перпендикуляр к прямой l и обозначьте точку пересечения через H.
2. Продолжите прямую AH за ось l. На продолжении отложите отрезок HA′, равный HA.
3. Проверьте, что H — середина AA′, а AH перпендикулярен l. По определению осевой симметрии A′ — искомый образ.

Ответ: точка A′ на перпендикуляре к l по другую сторону оси, причём HA′ = HA. Такая проверка одновременно подтверждает и равенство расстояний, и прямой угол с осью. Если A лежит на l, то её образ совпадает с A.

Задача 2. Постройте образ треугольника ABC при параллельном переносе на заданный вектор. Все вершины должны сместиться одинаково, иначе полученные стороны могут изменить длину или направление. Поэтому переносим каждую вершину одним и тем же вектором.

1. От точки A отложите вектор, равный вектору переноса, и получите точку A′.
2. Тем же способом постройте образы B′ и C′: длина и направление каждого смещения должны совпадать с заданным вектором.
3. Соедините A′, B′ и C′ в том же порядке, что и исходные вершины. Полученный треугольник A′B′C′ является образом ABC.

Ответ: искомый образ — треугольник A′B′C′. Проверка состоит в том, чтобы сравнить векторы AA′, BB′ и CC′ с заданным вектором: они должны быть равны ему. Тогда все вершины действительно перенесены одним и тем же способом.

Задача 3. Постройте образ треугольника при повороте вокруг заданного центра O на указанный угол и обоснуйте равенство треугольников. Чтобы определить образ каждой вершины, нужно сохранить её расстояние до O и повернуть луч, идущий от O к вершине. После построения сравним стороны и углы исходной фигуры с образованной.

1. Проведите лучи OA, OB и OC и отметьте расстояния от O до каждой вершины.
2. Поверните каждый луч вокруг O на заданный угол в указанном направлении. На новых лучах отложите прежние расстояния и получите A′, B′ и C′.
3. Соедините образы вершин. Поскольку поворот является движением, он сохраняет длины сторон и величины углов исходного треугольника.

Ответ: треугольник A′B′C′ — образ ABC, и эти треугольники равны. Равенство следует из сохранения соответствующих сторон и углов при повороте. До построения проверьте, что задан угол именно между исходным лучом и его образом, а не между случайно выбранными лучами.

Типичные ошибки

При осевой симметрии иногда откладывают образ не на перпендикуляре к оси. Это происходит, когда проверяют только равенство расстояний, но забывают условие прямого угла. Проведите линию через исходную точку и её образ: она должна пересекать ось под прямым углом, а точка пересечения должна быть серединой отрезка.

При центральной симметрии образ могут поместить на той же стороне от центра, что и исходная точка. Так ошибаются, если помнят о равных расстояниях, но не проверяют, что центр лежит между точками. Проверьте, что исходная точка, центр и образ лежат на одной прямой, а центр делит соединяющий отрезок пополам.

При параллельном переносе разные точки иногда смещают на разные векторы. Причина — желание удобнее разместить каждую вершину, хотя тогда это уже не заданный перенос и фигура может изменить форму. Сравните векторы от каждой исходной точки к её образу: они должны иметь одно направление и одну длину.

При повороте можно случайно изменить расстояние до центра или отложить угол от неверного луча. Ошибку допускают, если строят образ только по углу и не проверяют положение точки на окружности с центром поворота. Убедитесь, что расстояние от центра до точки и до её образа одинаково, а угол отсчитывается от луча к исходной точке.

Связь с другими темами

Для построения образов понадобятся перпендикуляр и середина отрезка, а также понятие вектора и умение измерять угол. Циркуль и линейка помогают проводить перпендикуляры и откладывать равные расстояния, необходимые при построениях. Движения пригодятся при доказательстве равенства фигур: если одну фигуру можно получить из другой движением, их соответствующие длины и углы совпадают. Эти преобразования также служат основой для дальнейшего изучения преобразований плоскости.

Что запомнить

• Движение сохраняет расстояния между точками.
• При осевой симметрии ось — серединный перпендикуляр к отрезку между точкой и её образом.
• При центральной симметрии центр — середина такого отрезка.
• Параллельный перенос смещает все точки на один и тот же вектор.
• Поворот задаётся центром и углом.
• Образ фигуры при движении равен исходной фигуре.