"Геометрия", Мерзляк А.Г., Поляков В.М.; под ред. Подольского В.Е.
Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Его свойства позволяют без измерений находить длины сторон, величины углов и части диагоналей. В параллелограмме противоположные стороны и углы равны, соседние углы в сумме дают 180°, а диагонали точкой пересечения делятся пополам. Эти факты используются при решении задач и изучении прямоугольника, ромба и квадрата.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Вершины обычно обозначают последовательно: ABCD, поэтому стороны записывают AB, BC, CD, DA. Это определение помогает отличить параллелограмм от произвольного четырёхугольника.
Противоположные стороны и углы — те, которые не имеют общей вершины. В ABCD пары противоположных сторон таковы: AB и CD, BC и AD, а пары противоположных углов — ∠A и ∠C, ∠B и ∠D. Такое различие нужно, чтобы правильно применять свойства фигуры.
Диагональ параллелограмма — отрезок, соединяющий две его противоположные вершины. В параллелограмме ABCD это диагонали AC и BD. Они делят фигуру на треугольники и помогают доказывать равенство её элементов.
Высота параллелограмма — перпендикуляр, проведённый из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Сторону, к которой проведена высота, называют основанием. Высота показывает расстояние между параллельными прямыми, на которых лежат противоположные стороны.
Из определения следует, что AB ∥ CD и BC ∥ AD. Если одну из этих пар пересечь секущей, например диагональю или боковой стороной, образуются накрест лежащие углы. Они равны по свойству параллельных прямых, поэтому углы внутри параллелограмма связаны между собой.
Чтобы доказать равенство противоположных сторон, проведём диагональ AC. Треугольники ABC и CDA имеют общую сторону AC, а две пары углов при ней равны как накрест лежащие при параллельных прямых. По стороне и двум прилежащим углам треугольники равны, значит, AB = CD и BC = AD.
Из равенства треугольников сразу следует равенство противоположных углов: ∠A = ∠C и ∠B = ∠D. Кроме того, соседние углы являются внутренними односторонними при параллельных прямых, поэтому их сумма равна 180°; тот же вывод получается из суммы углов треугольника. Значит, если известен один угол, остальные можно найти без измерений.
Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O. В треугольниках AOB и COD углы при O вертикальные и равны, а углы при параллельных сторонах равны как накрест лежащие; кроме того, AB = CD. Треугольники равны, поэтому AO = OC и BO = OD: диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Таблица служит краткой памяткой: сначала определите, о каких элементах говорится, затем запишите нужное равенство или сумму. Буквы A, B, C, D идут по контуру параллелограмма, а O обозначает точку пересечения диагоналей.
| Элемент | Свойство | Как записывается для ABCD |
|---|---|---|
| Противоположные стороны | Противоположные стороны равны и параллельны | AB = CD, BC = AD; AB ∥ CD, BC ∥ AD |
| Противоположные углы | Противоположные углы равны | ∠A = ∠C, ∠B = ∠D |
| Соседние углы | Сумма соседних углов равна 180° | ∠A + ∠B = 180° |
| Диагонали | Диагонали точкой пересечения делятся пополам | AO = OC, BO = OD |
Задача 1. В параллелограмме ABCD AB = 7 см, BC = 4 см. Найдём CD, AD и периметр. Противоположные стороны равны, а периметр складывается из длин всех четырёх сторон.
Ответ: CD = 7 см, AD = 4 см, P = 22 см.
Задача 2. Один угол параллелограмма равен 68°. Нужно определить остальные углы. Сначала используем равенство противоположных углов, затем найдём соседние как дополнительные до 180°.
Ответ: два угла по 68° и два угла по 112°.
Задача 3. Диагонали ABCD пересекаются в O, AC = 18 см и BO = 5 см. Свойство диагоналей позволяет заменить каждую диагональ двумя равными половинами.
Ответ: AO = 9 см, OC = 9 см, BD = 10 см.
Путают противоположные и соседние стороны или углы, называя их только по одной общей вершине. Соседние элементы имеют общую вершину, а противоположные — нет: AB и CD противоположны, AB и BC соседние. Проверьте обозначения по контуру ABCD и убедитесь, есть ли общая вершина.
Считают, что диагонали любого параллелограмма равны. На самом деле общее свойство состоит в том, что диагонали делятся точкой пересечения пополам; равенство диагоналей есть, например, у прямоугольника. Если в условии нет дополнительного свойства фигуры, не записывайте AC = BD.
Записывают, что соседние углы равны. Для обычного параллелограмма равны противоположные углы, а соседние в сумме дают 180°. Проверка проста: если соседние углы получились равными, каждый из них должен быть 90°.
Утверждают, что диагональ делит угол пополам. Диагональ действительно соединяет противоположные вершины, но не обязана быть биссектрисой угла. Для самопроверки сравните два угла, на которые она разделила угол: без дополнительного условия их равенство не следует.
Для понимания темы нужны определение четырёхугольника, виды углов, признаки равенства треугольников и свойства параллельных прямых. Эти знания объясняют, почему стороны и углы параллелограмма связаны.
Параллелограмм служит основой для изучения прямоугольника, ромба и квадрата. Это его частные виды, у которых появляются дополнительные свойства: например, прямые углы или равенство всех сторон.
Свойства параллелограмма помогают доказывать геометрические утверждения и вычислять периметры. Они особенно полезны в задачах на углы, стороны, высоты и диагонали.
Чем параллелограмм отличается от произвольного четырехугольника?
У произвольного четырёхугольника противоположные стороны могут не быть параллельными. У параллелограмма обе пары противоположных сторон параллельны, поэтому для него выполняются специальные свойства: равенство противоположных сторон и углов, а также деление диагоналей пополам.
Почему противоположные стороны параллелограмма не только параллельны, но и равны?
Проведение диагонали разбивает параллелограмм на два треугольника. Они равны по стороне и двум прилежащим углам, образованным параллельными прямыми, поэтому соответствующие противоположные стороны имеют одинаковую длину.
Всегда ли диагонали параллелограмма равны?
Нет, диагонали обычного параллелограмма не обязаны быть равными. Они только пересекаются и делятся точкой пересечения пополам; равенство диагоналей является дополнительным свойством, например, прямоугольника.
Как быстро найти все углы параллелограмма, если известен один угол?
Противоположный угол равен известному. Каждый соседний угол находят вычитанием известного угла из 180°, потому что соседние углы параллелограмма являются дополнительными.
Почему диагонали параллелограмма делятся пополам, но не обязательно являются биссектрисами его углов?
Свойство диагоналей следует из равенства треугольников, образованных при их пересечении, и относится к их отрезкам. Деление угла пополам требует отдельного условия и выполняется, например, у ромба, но не у любого параллелограмма.
§ 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма
