"Геометрия", Мерзляк А.Г., Поляков В.М.; под ред. Подольского В.Е.
Четырёхугольник — замкнутая фигура из четырёх отрезков. У него четыре вершины, стороны и внутренних угла, а противоположные вершины соединяют диагонали. Эти элементы помогают описывать и сравнивать фигуры, находить неизвестные углы и изучать особые четырёхугольники: параллелограмм, прямоугольник, ромб и квадрат. Для выпуклого четырёхугольника сумма внутренних углов равна 360°: диагональ делит его на два треугольника.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Четырёхугольник — это замкнутая ломаная, состоящая из четырёх звеньев. Замкнутая означает, что конец последнего звена соединён с началом первого, поэтому фигура не имеет разрыва. Четыре заглавные буквы, например ABCD, записывают в порядке обхода границы. Такой порядок показывает, какие вершины соединены сторонами.
Вершины четырёхугольника ABCD — точки A, B, C и D, а его стороны — отрезки AB, BC, CD и DA. Сторона соединяет две соседние вершины, то есть стоящие рядом в записи и расположенные подряд на границе. Поэтому отрезок между несоседними вершинами стороной не будет. Это различие помогает правильно перечислять элементы фигуры.
Диагональ четырёхугольника — отрезок, соединяющий две противоположные вершины. В ABCD это AC и BD: первая соединяет A с C, вторая — B с D. Диагонали нужны, например, чтобы разбить фигуру на треугольники и исследовать её углы. У четырёхугольника две пары противоположных вершин, поэтому и диагоналей две.
Внутренние углы четырёхугольника образованы его сторонами внутри фигуры; их обозначают ∠A, ∠B, ∠C и ∠D. Соседние стороны имеют общую вершину, как AB и BC, а противоположные — общей вершины не имеют, как AB и CD. Соседними называют также вершины, соединённые стороной, а противоположными — не соединённые стороной. Это позволяет описывать взаимное расположение элементов без рисунка.
Чтобы получить четырёхугольник, возьми четыре точки и соедини их отрезками по кругу: первую со второй, вторую с третьей, третью с четвёртой, а четвёртую с первой. Тогда линия замкнётся и образует границу из четырёх звеньев. Буквы записывают именно в порядке обхода, потому что запись сразу сообщает, какие точки соседние. Если перескакивать через вершину, обозначение перестанет перечислять стороны подряд и легко приведёт к путанице.
У фигуры четыре стороны, потому что каждая из четырёх вершин соединена со следующей по границе; последняя сторона возвращает нас к началу. В каждой вершине встречаются две стороны, и именно они образуют внутренний угол. Диагональ соединяет не соседей, а противоположные вершины: иначе она совпала бы со стороной. У четырёх вершин есть ровно две пары противоположных, поэтому диагонали — AC и BD.
На рисунке соседние элементы проще всего искать по общей вершине или общей стороне границы. Например, AB и BC соседние стороны, поскольку встречаются в B; A и B — соседние вершины, поскольку их соединяет сторона AB. Напротив, у сторон AB и CD общей вершины нет, а вершины A и C не соединены стороной. При перечислении углов соседними будут углы при концах одной стороны, например ∠A и ∠B, а противоположными — ∠A и ∠C.
У выпуклого четырёхугольника диагональ целиком проходит внутри и делит его на два треугольника. У каждого треугольника сумма углов равна 180°, а два получившихся набора вместе составляют все углы исходной фигуры. Поэтому сумма внутренних углов четырёхугольника равна 180° + 180° = 360°. Это правило позволяет найти угол, если известны остальные три.
Выпуклый четырёхугольник устроен так, что отрезок между любыми двумя его точками остаётся внутри фигуры; каждый внутренний угол меньше 180°. У невыпуклого есть «впадина»: один внутренний угол больше 180°, и не все отрезки между его точками лежат внутри. Поэтому одна диагональ невыпуклой фигуры может проходить вне неё, тогда как для выпуклой обе диагонали находятся внутри. Сумма внутренних углов простого четырёхугольника всё равно равна 360°, хотя для невыпуклой диагональ не всегда делит фигуру на два внутренних треугольника.
В таблице запись ABCD предполагает обход границы по порядку букв. Сверяйся с ней, когда называешь стороны, диагонали или пары элементов: так проще не перепутать соседние и противоположные.
| Элемент или характеристика | Что обозначает | Количество или правило | Пример для ABCD |
|---|---|---|---|
| Вершины | Точки, где соединяются стороны | 4 | A, B, C, D |
| Стороны | Звенья границы между соседними вершинами | 4 | AB, BC, CD, DA |
| Диагонали | Отрезки между противоположными вершинами | 2 | AC, BD |
| Внутренние углы | Углы внутри фигуры между сторонами | 4 | ∠A, ∠B, ∠C, ∠D |
| Соседние стороны и вершины | Стороны имеют общую вершину; вершины соединены стороной | У каждой стороны и вершины есть соседи | AB и BC; A и B |
| Противоположные стороны и вершины | Стороны не имеют общей вершины; вершины не соединены стороной | 2 пары сторон и 2 пары вершин | AB и CD; A и C |
| Сумма внутренних углов | Сумма четырёх углов фигуры | 360° | ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360° |
Дан четырёхугольник ABCD. Назовите его вершины, стороны, диагонали и пары противоположных сторон. Сначала читаем буквы по границе, затем отделяем соседние вершины от противоположных. Стороны будут соединять буквы, стоящие рядом, включая последнюю и первую; диагонали соединят оставшиеся пары. Такой порядок действий помогает не принять диагональ за сторону.
Ответ: вершины A, B, C, D; стороны AB, BC, CD, DA; диагонали AC, BD; пары противоположных сторон AB и CD, BC и AD.
В выпуклом четырёхугольнике три угла равны 68°, 107° и 95°. Найдите четвёртый угол. Здесь неизвестен один из четырёх внутренних углов, а их общая сумма для выпуклого четырёхугольника равна 360°. Значит, достаточно вычесть сумму известных углов из 360°.
Ответ: четвёртый угол равен 90°.
У выпуклого четырёхугольника ABCD углы A = 2x + 10°, B = x + 20°, C = 3x − 10° и D = 2x°. Найдите x и все углы. Неизвестные значения связаны одним числом x, поэтому подставим выражения в правило суммы углов. После решения уравнения проверим, что углы положительны и меньше 180°, как и должно быть у выпуклого четырёхугольника.
Ответ: x = 42,5; ∠A = 95°, ∠B = 62,5°, ∠C = 117,5°, ∠D = 85°.
Диагональ иногда называют стороной, потому что оба отрезка соединяют вершины. Проверка простая: у стороны её концы соседние по границе, а у диагонали — противоположные. В ABCD отрезок AB — сторона, AC — диагональ. Если сомневаешься, восстанови порядок обхода букв.
Стороны ABCD могут ошибочно записать как AC или BD. Так происходит, когда не проверяют, какие буквы стоят рядом, и пропускают вершину. Перечисляй отрезки по границе: AB, BC, CD, DA; затем проверь, что их четыре. AC и BD останутся диагоналями.
Число диагоналей путают с количеством возможных отрезков между вершинами. Но отрезки между соседними вершинами уже являются сторонами, а диагонали соединяют только противоположные пары. У четырёхугольника таких пар две: A–C и B–D. Перечисли их по вершинам — повторов или третьей пары не появится.
Для всего четырёхугольника иногда используют сумму углов треугольника 180°. Ошибка возникает, если забыть, что диагональ выпуклого четырёхугольника образует два треугольника. Сложи их суммы: 180° + 180° = 360°. Проверка ответа: сумма всех четырёх найденных углов должна дать 360°.
Чтобы изучать четырёхугольники, нужно уметь распознавать точку, отрезок, ломаную, угол и треугольник. Сумма углов треугольника помогает вывести сумму углов четырёхугольника. Позже эти понятия понадобятся при изучении параллелограмма, прямоугольника, ромба и квадрата: все они являются особыми видами четырёхугольников. Диагонали, соседние и противоположные элементы также используют при доказательстве свойств многоугольников.
Почему отрезок AC в четырёхугольнике ABCD является диагональю, а AB — стороной?
В записи ABCD вершины идут по границе фигуры: A соединена с B и D, поэтому AB — сторона. A и C не соседствуют, значит, отрезок AC соединяет противоположные вершины и является диагональю.
Можно ли обозначить тот же четырёхугольник буквами DCBA?
Да, если перечислять вершины подряд при обходе границы. Запись DCBA задаёт тот же порядок обхода в обратном направлении, что и ABCD.
Сколько диагоналей у четырёхугольника и как их найти?
У него две диагонали: отрезки между двумя парами противоположных вершин. У ABCD это AC и BD.
Как быстро определить, какие стороны или вершины являются противоположными?
Противоположные вершины не соединены стороной: в ABCD это A и C, а также B и D. Противоположные стороны не имеют общей вершины: это AB и CD, а также BC и AD.
Почему сумма углов четырёхугольника равна 360°, а не 180°?
Диагональ выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника. У каждого сумма углов 180°, поэтому вместе получается 180° + 180° = 360°.
§ 1. Четырёхугольник и его элементы
