§ 1. Четырёхугольник и его элементы

Определения и обозначения

Четырёхугольник — замкнутая ломаная из четырёх звеньев вместе с частью плоскости, ограниченной этой ломаной. Замкнутая означает, что конец последнего звена совпадает с началом первого. Фигуру обозначают четырьмя заглавными буквами по порядку вершин вдоль границы, например ABCD.

Вершины — точки соединения соседних звеньев, а стороны — сами звенья. У четырёхугольника ABCD вершины — A, B, C, D, а стороны — AB, BC, CD и DA. Такое обозначение позволяет понять, какие отрезки образуют границу фигуры.

Две стороны называются соседними, если у них есть общая вершина: например, AB и BC сходятся в точке B. Противоположные стороны общей вершины не имеют: у ABCD это AB и CD, а также BC и DA. Разделение помогает описывать взаимное расположение сторон, не полагаясь на то, как близко они нарисованы.

Диагональ четырёхугольника — отрезок, соединяющий две его несоседние вершины. В ABCD диагонали — AC и BD, потому что между A и C, а также между B и D нет стороны. Это понятие отличает отрезки внутри фигуры от звеньев, составляющих её границу.

Как это устроено

Четырёхугольник образуется из четырёх последовательно соединённых отрезков, причём последний отрезок замыкает ломаную. Если цепочка не замкнута, у неё остаются отдельные начало и конец, поэтому она не ограничивает фигуру. Число звеньев тоже существенно: при трёх или пяти звеньях получается уже не четырёхугольник. В определении речь идёт и о части плоскости внутри контура, а не только о его границе.

Буквы в названии идут по границе, потому что именно такой порядок показывает последовательность соединённых вершин. В записи ABCD за AB следует BC, затем CD и DA: эти отрезки и составляют контур. Соседними оказываются вершины, которые соединены одним из этих отрезков, а не те, которые просто находятся рядом на рисунке. Благодаря порядку букв можно восстановить границу даже без изображения.

У фигуры четыре вершины и четыре стороны, поэтому пары элементов удобно разбирать по тому, есть ли у них общая вершина. У каждой вершины сходятся две стороны, и их называют соседними. Если общих вершин нет, стороны противоположные; всего таких пар две. Такое деление помогает не перепутать пары при изучении свойств четырёхугольников.

Диагонали соединяют несоседние вершины, поскольку отрезок между соседними уже является стороной. Из четырёх вершин можно выбрать две пары, в которых вершины не соединены границей: в ABCD это A с C и B с D. Поэтому в четырёхугольнике две диагонали. Они проходят через внутреннюю область или её часть, а не становятся звеньями внешней границы.

Четырёхугольник называют выпуклым, если отрезок между любыми двумя его точками целиком лежит внутри фигуры или на её границе. Это условие объясняет, почему у выпуклой фигуры нет «впадины»: отрезок не выходит наружу, соединяя точки по разные стороны такой впадины. Проверяют именно все пары точек фигуры, а не только вершины. Поэтому одного взгляда на длину или наклон сторон для определения выпуклости недостаточно.

Элементы четырёхугольника

Таблица помогает быстро сопоставить элемент с его определением и количеством. Чтобы проверить конкретную фигуру, сначала пройдите по её границе и обозначьте вершины по порядку, а затем примените критерии из второго столбца. Количество служит проверкой: если нашли не четыре стороны или не две диагонали, перепроверьте, какие отрезки вы выбрали.

Разбор задач

Дан четырёхугольник ABCD. Назовите его стороны, вершины и диагонали.

Чтобы ответить, сначала используем порядок букв в обозначении: он показывает движение по границе. Затем отделим вершины, стороны и диагонали по их определениям. Так мы не примем отрезок между несоседними вершинами за часть границы.

1. Выписываем буквы: A, B, C, D. Это четыре вершины, перечисленные по порядку вдоль контура.

2. Соединённые по кругу соседние вершины дают стороны AB, BC, CD и DA. Последняя сторона замыкает контур от D к A.

3. Находим пары вершин без стороны между ними: это A и C, а также B и D. Отрезки AC и BD — диагонали.

Ответ: вершины — A, B, C, D; стороны — AB, BC, CD, DA; диагонали — AC и BD. Проверка: сторон четыре, а диагоналей две, как и должно быть у четырёхугольника.

Для четырёхугольника KLMN укажите пары соседних и противоположных сторон.

Сначала важно установить, в каком порядке вершины расположены на границе: K, L, M, N. Это позволит выписать только стороны фигуры и увидеть общие вершины. После этого соседние и противоположные стороны можно распределить по одному критерию — наличию общей вершины.

1. Записываем стороны по кругу: KL, LM, MN и NK. Они соединяют каждую вершину с двумя соседними и образуют замкнутую границу.

2. Сравниваем стороны попарно. KL и LM имеют общую вершину L, LM и MN — M, MN и NK — N, NK и KL — K.

3. Оставшиеся пары сторон общей вершины не имеют. Это KL с MN и LM с NK.

Ответ: соседние пары — KL и LM, LM и MN, MN и NK, NK и KL; противоположные пары — KL и MN, LM и NK. Если две стороны записаны с общей буквой, это подсказка, что они соседние. Если общей буквы нет, проверьте, не являются ли они противоположными.

На рисунке отмечены четыре точки и проведённая между ними ломаная. Определите, задаёт ли она четырёхугольник, назовите его диагонали и выясните, является ли он выпуклым.

Без самого рисунка можно применить общий порядок проверки. Сначала выясняем, образуют ли отрезки замкнутую границу из четырёх звеньев, затем ищем несоседние вершины. Для выпуклости проверяем, остаются ли отрезки между точками фигуры внутри неё или на границе.

1. Прослеживаем ломаную от начальной точки. Она должна вернуться к началу и состоять ровно из четырёх звеньев; только тогда задан четырёхугольник.

2. Обозначаем вершины по порядку, например ABCD. Несоседние пары — A и C, B и D, поэтому диагонали — AC и BD.

3. Проверяем выпуклость по определению: для любых двух точек фигуры соединяющий их отрезок должен целиком оставаться внутри или на границе. Если найдётся отрезок, выходящий наружу, четырёхугольник невыпуклый.

Ответ: без конкретного рисунка нельзя сообщить результат проверки, но последовательность действий однозначна. Замкнутая ломаная из четырёх звеньев задаёт четырёхугольник, его диагонали соединяют несоседние вершины, а выпуклость определяется условием для всех отрезков между точками фигуры.

Типичные ошибки

Иногда сторону называют диагональю, потому что оба отрезка соединяют вершины. Но сторона соединяет соседние вершины и лежит на границе, а диагональ связывает несоседние. Чтобы проверить себя, спросите, есть ли между концами отрезка звено границы: если есть, это сторона.

Соседство порой определяют по тому, какие вершины нарисованы ближе друг к другу. Расстояние на рисунке не задаёт геометрическое название: соседними вершины становятся только тогда, когда их соединяет сторона. Проследите контур и проверьте наличие такого звена, а не ориентируйтесь на внешний вид чертежа.

Если перечислять стороны в случайном порядке, легко включить отрезок, которого нет на границе. Это происходит, когда забывают, что буквы в названии идут по контуру. Проверьте каждую пару: AB, BC, CD и DA — стороны ABCD, а AC и BD — диагонали.

Не всякий замкнутый контур является четырёхугольником: у него может быть другое число звеньев. Ошибка возникает, когда замечают только замкнутость и не пересчитывают части ломаной. Для проверки посчитайте звенья и точки их соединения: должно быть ровно четыре звена и четыре вершины.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужно уметь различать отрезок и ломаную, а также знать, что такое звенья и вершины ломаной. Эти знания помогают определить, какие части образуют границу, и проверить, замкнулась ли она. Без них трудно правильно установить число сторон и вершин.

Понятия сторон и диагоналей понадобятся при изучении видов четырёхугольников и их свойств. Сначала нужно научиться точно определять элементы фигуры, а затем сравнивать их и находить закономерности. Выпуклость тоже помогает описывать форму и различать четырёхугольники.

Что запомнить

• У четырёхугольника четыре вершины и четыре стороны.
• Вершины в обозначении перечисляют по порядку вдоль границы.
• Соседние стороны имеют общую вершину.
• Противоположные стороны общей вершины не имеют.
• Диагональ соединяет несоседние вершины.
• У четырёхугольника две диагонали.
• Выпуклый четырёхугольник содержит отрезок, соединяющий любые две его точки.