§ 32. Сумма углов многоугольника

Определения и обозначения

Многоугольник — замкнутая ломаная линия и часть плоскости, которую она ограничивает. Его вершины обозначают последовательно, например A, B, C, D, а стороны записывают как AB, BC, CD и DA. Такое обозначение показывает, какие стороны соседствуют и в каком порядке они образуют границу фигуры. Оно нужно, чтобы точно описывать углы и проводить диагонали.

Внутренний угол многоугольника — угол, образованный двумя соседними сторонами внутри фигуры. Например, в четырёхугольнике ABCD угол при вершине B образуют стороны BA и BC. Важно учитывать именно область внутри многоугольника: при пересечении прямых могут возникнуть и другие углы. Это определение позволяет понять, какие углы складывают при поиске их общей суммы.

Диагональ многоугольника — отрезок, соединяющий две его несоседние вершины. Например, у четырёхугольника ABCD отрезок AC является диагональю, а AB — стороной, потому что A и B соседние вершины. Диагонали проводят внутри выпуклого многоугольника, чтобы разделить его на более простые фигуры. Именно такой способ помогает вывести формулу суммы углов.

Сумма углов многоугольника — результат сложения всех его внутренних углов. Для выпуклого многоугольника эта сумма определяется числом сторон и не зависит от конкретных размеров фигуры. Число сторон обычно обозначают n, а сумму внутренних углов можно обозначить S. Это позволяет записать общее правило одной формулой и применять его к разным многоугольникам.

Как это устроено

Возьмём выпуклый многоугольник с n вершинами и выберем одну из них. Из неё можно провести диагонали ко всем вершинам, кроме самой выбранной и двух соседних: отрезки к соседним вершинам уже являются сторонами. Каждая диагональ делит часть фигуры на новые области, поэтому вместе с проведёнными отрезками многоугольник распадается на треугольники. Выпуклость нужна, чтобы эти диагонали проходили внутри фигуры и не пересекали её границу.

Число образовавшихся треугольников равно n − 2. Это можно увидеть на примерах: у четырёхугольника диагональ из вершины создаёт два треугольника, у пятиугольника — три, а при добавлении ещё одной стороны добавляется ещё один треугольник. В общем случае две стороны, прилегающие к выбранной вершине, вместе с самой вершиной задают начальную область, а остальные вершины увеличивают число частей. Поэтому треугольников на два меньше, чем сторон.

При разбиении внутренние углы исходного многоугольника оказываются углами полученных треугольников. В местах проведения диагоналей один угол многоугольника может быть разделён на несколько углов треугольников, но вместе они составляют исходный угол. Углы при внутренних точках диагоналей тоже входят в суммы треугольников, однако при сложении они образуют ровно те части углов, которые находятся внутри многоугольника. Поэтому сумма углов всех треугольников равна сумме внутренних углов исходной фигуры.

Сумма углов любого треугольника равна 180°. Поскольку выпуклый n-угольник разбивается на n − 2 треугольника, общая сумма его внутренних углов составляет (n − 2) · 180°. Например, при n = 6 получаем четыре треугольника и сумму 4 · 180° = 720°. Здесь важно умножать 180° на число треугольников, а не просто на количество сторон.

Формула применима и к отдельным случаям: у треугольника при n = 3 сумма равна 180°, у четырёхугольника — 360°, у пятиугольника — 540°. Если многоугольник правильный, все его внутренние углы равны по определению, поэтому общую сумму можно разделить на n. Получается, что один угол правильного n-угольника равен ((n − 2) · 180°) / n. Для обычного многоугольника такое деление не даёт отдельный угол: его углы могут иметь разные величины.

Сумма внутренних углов многоугольников

Чтобы найти сумму внутренних углов, выберите строку с нужным числом сторон или подставьте n в общую формулу. Последний столбец относится только к правильному многоугольнику, у которого все углы равны. Если фигура не правильная, таблица даёт сумму углов, но не величину каждого из них по отдельности.

Разбор задач

Задача 1. Найдите сумму внутренних углов выпуклого семиугольника. Нужно выяснить, сколько треугольников образуют диагонали из одной вершины, а затем учесть по 180° для каждого. Число сторон здесь n = 7, поэтому можно сразу использовать формулу суммы углов.

1. Записываем формулу для выпуклого n-угольника: S = (n − 2) · 180°.
2. Подставляем число сторон: S = (7 − 2) · 180° = 5 · 180°.
3. Вычисляем: S = 900°. Проверка смысла ответа: из одной вершины семиугольника получаются пять треугольников, и их углы в сумме дают 5 · 180°.

Ответ: 900°.

Задача 2. В выпуклом многоугольнике сумма внутренних углов равна 1260°. Сколько у него сторон? Обозначим число сторон через n и приравняем формулу суммы к известному значению. После решения нужно проверить, что найдено целое число сторон не меньше трёх.

1. Составляем уравнение: (n − 2) · 180° = 1260°.
2. Делим обе части на 180°: n − 2 = 1260 / 180 = 7.
3. Прибавляем 2: n = 9. Проверка: (9 − 2) · 180° = 7 · 180° = 1260°, значит значение подходит.

Ответ: 9 сторон.

Задача 3. Найдите каждый внутренний угол правильного десятиугольника. Сначала найдём сумму всех его углов, а затем разделим её на десять, поскольку правильный многоугольник имеет равные углы. Если бы равенство углов не было дано, найти каждый угол только по общей сумме было бы нельзя.

1. Для десятиугольника n = 10, поэтому сумма равна (10 − 2) · 180°.
2. Вычисляем: 8 · 180° = 1440° — сумма внутренних углов.
3. Делим общую сумму на число равных углов: 1440° / 10 = 144°. Это величина каждого внутреннего угла правильного десятиугольника.

Ответ: 144°.

Типичные ошибки

Ошибка — использовать формулу n · 180° вместо (n − 2) · 180°. Так поступают, если помнят, что каждому треугольнику соответствует 180°, но забывают, что треугольников меньше, чем сторон. Проверка: сначала определите число треугольников при разбиении, а уже потом умножайте его на 180°. Для выпуклого n-угольника это число равно n − 2.

Иногда считают, что из одной вершины получается n треугольников. Но две соседние вершины соединены с выбранной вершиной сторонами, и разбиение начинается не с n частей; на примерах четырёхугольника и пятиугольника видно, что частей соответственно две и три. Чтобы проверить подсчёт, мысленно проведите диагонали и посчитайте области внутри фигуры. Получится n − 2 треугольника, а диагоналей из вершины — n − 3.

Нельзя делить сумму всех углов на число сторон и считать результат величиной любого внутреннего угла. Такое действие даёт один угол только при условии, что все углы многоугольника равны, например у правильного многоугольника. Ошибку допускают, перенося формулу для правильной фигуры на произвольную. Проверьте условие задачи: если равенство углов не дано, известна лишь сумма, а не каждый угол.

Внутренний угол многоугольника можно спутать с внешним углом или с отдельным углом одного из треугольников после проведения диагоналей. При разбиении один внутренний угол иногда делится на несколько частей, и не каждая часть сама по себе является углом исходного многоугольника. Проверяйте, что складываете углы именно внутри границы фигуры; части при одной вершине вместе образуют её внутренний угол. Внешний угол расположен снаружи и в сумму внутренних углов не входит.

Связь с другими темами

Для вывода формулы нужны понятия многоугольника, его вершин, сторон и диагоналей, а также теорема о сумме углов треугольника, равной 180°. Знание суммы углов помогает решать задачи на неизвестные углы и изучать свойства правильных многоугольников. Позже тот же результат используют при рассмотрении правильных многогранников и других пространственных фигур, где важно понимать углы многоугольных граней.

Что запомнить

• Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна (n − 2) · 180°.
• Из одной вершины выпуклого n-угольника можно провести n − 3 диагонали.
• Эти диагонали разбивают многоугольник на n − 2 треугольника.
• Сумма углов треугольника равна 180°.
• В правильном n-угольнике один внутренний угол равен ((n − 2) · 180°) / n.
• Чтобы найти число сторон по сумме углов, нужно решить уравнение (n − 2) · 180° = S.