§ 33. Замечательные точки и линии треугольника

Определения и обозначения

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Точка пересечения трёх медиан называется центром тяжести, или центроидом; она делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Медианы нужны, чтобы находить эту особую точку и делить треугольник на части с одинаковой площадью.

Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Три высоты пересекаются в ортоцентре. Поскольку высота проводится к прямой, а не обязательно к самому отрезку стороны, некоторые высоты тупоугольного треугольника проходят вне него.

Биссектриса угла — луч или отрезок, делящий угол на два равных угла; биссектрисой треугольника называют её часть от вершины до противоположной стороны. Три биссектрисы пересекаются в центре вписанной окружности, который равноудалён от сторон треугольника. Это позволяет построить окружность, касающуюся всех трёх сторон.

Серединный перпендикуляр к стороне проходит через её середину и образует с ней прямой угол. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре описанной окружности. Эта точка равноудалена от всех вершин, поэтому из неё можно провести окружность через три вершины.

Как это устроено

Существование центра тяжести можно понять через координаты. Если координаты вершин обозначить A(x₁; y₁), B(x₂; y₂), C(x₃; y₃), то точка с координатами ((x₁ + x₂ + x₃)/3; (y₁ + y₂ + y₃)/3) лежит на каждой медиане: например, её можно представить как точку на отрезке от A к середине BC. Коэффициент при переходе от A к середине BC равен ⅔, поэтому центр расположен на расстоянии двух третей медианы от вершины. Такое обоснование сразу показывает, почему три медианы сходятся в одной точке.

Высоты тоже пересекаются в одной точке. Проведём через вершины прямые, параллельные противоположным сторонам; полученный параллелограмм имеет стороны, параллельные сторонам исходного треугольника. Высоты исходного треугольника оказываются серединными перпендикулярами к сторонам этого параллелограмма, а серединные перпендикуляры треугольника сходятся в одной точке. Это объясняет существование ортоцентра. В остроугольном треугольнике он внутри, в тупоугольном — вне, а в прямоугольном совпадает с вершиной прямого угла: две стороны там сами являются высотами.

Почему биссектриса связана с расстоянием до сторон? Опустим из точки на биссектрисе перпендикуляры к сторонам угла. Получатся два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой и равными острыми углами, значит, они равны, а перпендикуляры одинаковы. Следовательно, точка равноудалена от сторон угла. Точка пересечения биссектрис лежит на биссектрисе каждого угла, поэтому её расстояния до всех сторон одинаковы; окружность с таким радиусом касается каждой стороны.

На серединном перпендикуляре к отрезку любая точка одинаково удалена от его концов: прямоугольные треугольники, полученные при соединении точки с концами и серединой, имеют общий катет и равные катеты-половины отрезка. Обратно, точка, равноудалённая от концов, лежит на серединном перпендикуляре. Значит, пересечение двух таких прямых равноудалено от всех трёх вершин; третья прямая проходит через ту же точку. Так возникает центр описанной окружности.

Расположение центров зависит от формы треугольника: центр тяжести и центр вписанной окружности всегда внутри, а ортоцентр и центр описанной окружности могут выйти за его пределы. В прямоугольном треугольнике ортоцентр находится в вершине прямого угла, а центр описанной окружности — в середине гипотенузы. Для разностороннего треугольника есть важное уточнение: на прямой Эйлера лежат центр тяжести, ортоцентр и центр описанной окружности, но центр вписанной окружности обычно на этой прямой не лежит.

Замечательные точки треугольника

Чтобы определить нужную точку, сначала смотрите, какие линии по условию задачи пересекаются, а затем используйте соответствующее свойство. Например, отношение частей медианы помогает найти центр тяжести, а равенство расстояний до вершин — центр описанной окружности. Последний столбец полезен для проверки построения: положение точки должно соответствовать виду треугольника.

Разбор задач

Медиана и центр тяжести

В треугольнике ABC точка M — середина стороны BC. Постройте медиану AM и определите на ней центр тяжести. Нужно сначала воспользоваться определением медианы, а затем учесть, что центр делит её не пополам.

1. Поскольку M — середина BC, соедините A и M. Полученный отрезок AM — медиана треугольника ABC.
2. Обозначьте центр тяжести G. Он находится на AM и делит медиану в отношении AG:GM = 2:1.
3. Если длина AM равна d, то вся медиана состоит из трёх равных частей: AG занимает две части, GM — одну. Поэтому AG = ⅔d, GM = ⅓d.

Ответ: центр тяжести G лежит на медиане AM на расстоянии двух третей её длины от вершины A. Если длина медианы не задана, точное числовое расстояние определить нельзя, но положение G определяется отношением 2:1.

Пересечение высот

В треугольнике ABC высоты из A и B пересекаются в точке H. Докажем, что высота из C тоже проходит через H. Для обоснования удобно использовать параллельность прямых и признак перпендикулярности.

1. Проведём через A прямую, параллельную BC, а через B — прямую, параллельную AC. Пусть они пересекутся в точке D. Четырёхугольник ACBD — параллелограмм.
2. Так как AH перпендикулярна BC, а AD параллельна BC, то AH перпендикулярна AD. Аналогично BH перпендикулярна BD. Значит, H лежит на серединном перпендикуляре к AD и к BD: для этого достаточно заметить, что AH и BH являются соответствующими перпендикулярами, а построенный параллелограмм даёт равные противоположные стороны.
3. Уточним последнее рассуждение через расстояния: из прямоугольных треугольников, образованных параллельными сторонами и высотами, следует равенство расстояний от H до A и D, а также от H до B и D. Следовательно, HA = HB = HD. Поэтому H равноудалена от A и B, а прямая CH перпендикулярна AB, поскольку в параллелограмме CD параллельна AB и перпендикулярна третьей высоте.

Ответ: точка H лежит и на высоте из C, поэтому все три высоты пересекаются в одной точке. В доказательстве полезно следить за тем, какая именно прямая перпендикулярна какой стороне; это предотвращает ошибку при работе с продолжениями сторон.

Центр описанной окружности на стороне

Центр описанной окружности O треугольника ABC лежит на стороне BC. Определим вид треугольника и положение ортоцентра. Поскольку O — центр окружности, проходящей через A, B и C, расстояния от O до вершин равны.

1. Из свойства центра описанной окружности получаем OB = OC. Точка O лежит на отрезке BC и равноудалена от его концов, значит, она является серединой BC.
2. Так как O — центр окружности, OA = OB = OC. При этом BC проходит через центр окружности, а B и C — концы диаметра. По теореме Фалеса угол BAC, опирающийся на диаметр BC, прямой.
3. Следовательно, ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом при A. Высоты, проведённые из B и C, совпадают с катетами BA и CA, поэтому пересекаются в A.

Ответ: треугольник ABC прямоугольный, O — середина гипотенузы BC, а ортоцентр совпадает с вершиной A прямого угла. Это пример, когда центр описанной окружности и ортоцентр находятся на границе треугольника, а не внутри него.

Типичные ошибки

Медиану путают с серединным перпендикуляром, потому что обе линии связаны с серединой стороны. Но медиана начинается в противоположной вершине и может быть наклонена к стороне, а серединный перпендикуляр проходит через середину под прямым углом; проверяйте начало и направление линии.

Иногда считают, что ортоцентр всегда внутри треугольника. Это верно только для остроугольного треугольника: в тупоугольном две высоты пересекаются на продолжениях сторон, а в прямоугольном пересечение совпадает с вершиной прямого угла. Перед построением определите вид треугольника.

Центр описанной окружности тоже ошибочно всегда помещают внутрь. В тупоугольном треугольнике он находится снаружи, потому что серединные перпендикуляры пересекаются за его границей; в прямоугольном он лежит на середине гипотенузы. Проверяйте положение по виду углов, а не по рисунку, который может быть неточным.

Отношение частей медианы иногда записывают как 1:2 от вершины. Причина ошибки — чтение отношения без указания направления отсчёта. Центр тяжести ближе к середине стороны, поэтому от вершины до него приходится две части, а оставшаяся часть вдвое короче; записывайте AG:GM = 2:1.

Связь с другими темами

Для изучения замечательных точек нужны свойства перпендикулярных прямых, биссектрисы угла, середины отрезка и равенства треугольников. Они объясняют, почему возникают равные расстояния и пересечения линий. Тема также опирается на понятия вписанной и описанной окружностей и на свойства прямоугольного треугольника.

Эти точки и линии применяются в доказательствах теорем о треугольниках, геометрических построениях и задачах на расстояния. Например, серединные перпендикуляры помогают находить точки, равноудалённые от вершин, а биссектрисы — центр окружности, касающейся сторон. Связь с окружностями позволяет переводить задачу о треугольнике в задачу о радиусах и касательных.

Что запомнить

• Три медианы пересекаются в одной точке — центре тяжести.
• Центр тяжести делит каждую медиану в отношении 2:1 от вершины.
• Три высоты пересекаются в ортоцентре.
• Три биссектрисы пересекаются в центре вписанной окружности.
• Три серединных перпендикуляра пересекаются в центре описанной окружности.
• Ортоцентр и центр описанной окружности могут находиться вне треугольника.
• В прямоугольном треугольнике ортоцентр — вершина прямого угла, а центр описанной окружности — середина гипотенузы.