§ 31. Многоугольники

Определения и обозначения

Многоугольник — замкнутая фигура, граница которой состоит из отрезков. Точки, в которых отрезки соединяются, называют вершинами, а сами отрезки — сторонами. Чтобы задать многоугольник, перечисляют его вершины по порядку обхода границы: запись ABCDE означает, что стороны идут AB, BC, CD, DE и EA. Так легко понять, какие стороны соседствуют и какие пары вершин могут соединяться диагональю.

Ломаная — последовательность отрезков, у которой конец каждого предыдущего отрезка совпадает с началом следующего. Если конец последнего отрезка совпадает с началом первого, ломаная замкнутая; если её звенья не имеют общих точек, кроме общих концов соседних звеньев, она простая. Замкнутая простая ломаная служит границей многоугольника. Эти условия помогают отличить обычную границу фигуры от цепочки отрезков с разрывом или пересечением.

Выпуклый многоугольник — многоугольник, целиком расположенный по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону. Это определение требует проверки для каждой стороны, а не только осмотра фигуры на отсутствие пересечений. Для выпуклого многоугольника также верно, что отрезок между любыми двумя его точками целиком принадлежит фигуре. Благодаря этому свойству диагонали проходят внутри многоугольника и делят его на части.

Правильный многоугольник — выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все углы равны. Одного равенства сторон недостаточно: фигура может иметь одинаковые стороны, но разные углы. Одного равенства углов тоже недостаточно, чтобы стороны обязательно были одинаковыми. Оба условия вместе выделяют правильную фигуру с равномерным устройством.

Как это устроено

Многоугольник получают из простой замкнутой ломаной: звенья становятся сторонами, а места соединения звеньев — вершинами. Замкнутость нужна, чтобы у фигуры появилась непрерывная граница, ограничивающая часть плоскости. Простота нужна потому, что самопересечение создаёт неоднозначные области и не даёт обычного контура многоугольника. Поэтому несоседние звенья не должны пересекаться, а соседние могут иметь общую вершину.

Каждому звену простой замкнутой ломаной соответствует одна сторона, а каждому месту соединения — одна вершина. При обходе границы после каждой вершины встречается следующая сторона, поэтому число сторон и вершин совпадает; его обозначают n. Многоугольник называют треугольником, четырёхугольником, пятиугольником и так далее в зависимости от n. В записи ABCDE вершины указывают в порядке их следования по границе, иначе по записи можно ошибочно определить соседство вершин.

Диагональ многоугольника — отрезок, соединяющий две несоседние вершины. Из выбранной вершины нельзя провести диагональ к самой себе, и нельзя соединить диагональю двух соседей: отрезок между ними уже является стороной. Из n вершин остаются две соседние с выбранной и сама выбранная, поэтому число диагоналей из неё равно n − 3. Такой подсчёт сразу показывает, почему у треугольника диагоналей нет.

Проведём из одной вершины выпуклого n-угольника диагонали ко всем несоседним вершинам. Выпуклость гарантирует, что каждая такая диагональ лежит внутри фигуры; вместе со сторонами они делят многоугольник на треугольники. Получается n − 2 треугольника: например, у четырёхугольника их два, а добавление каждой новой вершины увеличивает число частей на одну. У каждого треугольника сумма углов 180°, а вместе их углы составляют все внутренние углы многоугольника, значит, их сумма равна 180°(n − 2).

У правильного n-угольника все внутренние углы равны, а их сумма уже известна: 180°(n − 2). Если разделить эту сумму поровну на n углов, получим величину каждого: 180°(n − 2)/n. Равенство сторон также обязательно по определению правильного многоугольника, но само по себе не задаёт формулу угла. Оба условия вместе позволяют называть фигуру правильной и применять к ней свойства симметрии.

Основные характеристики выпуклого n-угольника

Сначала определи число сторон n, затем выбери строку с нужной характеристикой. Формулы суммы углов и числа диагоналей относятся к выпуклому многоугольнику, а формула одного угла — к правильному. Проверяй, что в ответе получилось подходящее значение: например, число сторон должно быть целым и не меньше трёх.

Разбор задач

1. Диагонали семиугольника из одной вершины

Условие: посчитать диагонали, выходящие из одной вершины выпуклого семиугольника. Семь вершин — это n = 7, а диагональ должна вести только к несоседней вершине. Сама выбранная вершина и две соседние не подходят, поэтому от общего числа вершин нужно исключить три.

1. Запишем формулу: из одной вершины выпуклого n-угольника выходит n − 3 диагонали.
2. Подставим n = 7: 7 − 3 = 4.
3. Проверим смысл результата: из семи вершин три исключены, остаются четыре несоседние вершины.

Ответ: из одной вершины семиугольника выходят 4 диагонали.

2. Сумма углов девятиугольника

Условие: найти сумму внутренних углов выпуклого девятиугольника. При разбиении из одной вершины каждая часть — треугольник, сумма углов которого равна 180°. Число таких частей равно n − 2, поэтому можно сначала найти их количество, а потом умножить на 180°.

1. Подставим n = 9 в формулу числа треугольников: 9 − 2 = 7.
2. Умножим число треугольников на сумму углов одного треугольника: 7 · 180° = 1260°.
3. Проверим, что использовали именно сумму углов, а не величину одного угла: делить результат на девять в этой задаче не нужно.

Ответ: сумма внутренних углов выпуклого девятиугольника равна 1260°.

3. Число сторон правильного многоугольника

Условие: внутренний угол правильного многоугольника равен 150°, нужно определить число его сторон. Для правильного n-угольника каждый угол равен 180°(n − 2)/n. Приравняем выражение к 150° и решим уравнение относительно n; найденное значение затем проверим по смыслу.

1. Составим уравнение: 180°(n − 2)/n = 150°.
2. Сократим градусные единицы и умножим обе части на n: 180(n − 2) = 150n.
3. Раскроем скобки: 180n − 360 = 150n, откуда 30n = 360 и n = 12.
4. Проверим: 12 — целое число не меньше трёх, а 180° · 10/12 = 150°.

Ответ: у многоугольника 12 сторон.

Типичные ошибки

Называть выпуклым любой многоугольник без самопересечений — ошибка: отсутствие пересечений ещё не гарантирует расположение фигуры по одну сторону от каждой прямой, содержащей её сторону. Проверять нужно каждую сторону, потому что достаточно нарушения условия хотя бы для одной из них, чтобы многоугольник не был выпуклым. Для самопроверки используй и отрезки: в выпуклой фигуре отрезок между любыми двумя её точками не выходит наружу.

Отрезок между соседними вершинами иногда принимают за диагональ, потому что он соединяет две вершины. Но соседние вершины уже образуют сторону, а диагональ связывает именно несоседние вершины. Проверь порядок вершин по границе: если между выбранной парой в этом порядке нет других вершин ни в одну сторону, это сторона, а не диагональ.

В формуле общего числа диагоналей n(n − 3)/2 легко забыть деление на 2, поскольку сначала считают диагонали из каждой вершины. Тогда каждый отрезок учитывается дважды: один раз с каждого конца. После вычисления проверь, делится ли произведение n(n − 3) на два и соответствует ли ответ числу уникальных отрезков.

Считать правильным любой многоугольник с равными сторонами — значит пропустить условие о равенстве углов. Эту ошибку допускают, смешивая привычное представление о правильной фигуре с её полным определением. Перед применением формулы внутреннего угла убедись, что фигура выпуклая и равны как все стороны, так и все углы.

Связь с другими темами

Для изучения многоугольников нужны понятия отрезка, угла и треугольника, а также представление о простой замкнутой ломаной. Градусная мера угла позволяет находить сумму углов и проверять результат вычислений. Если эти определения знакомы, формулы многоугольника можно вывести из уже известных свойств треугольника.

Разбиение многоугольника на треугольники помогает не только находить сумму его углов. Тот же подход используется при доказательстве формул площади и при вычислении углов в более сложных фигурах. Он превращает задачу о многоугольнике в несколько задач о треугольниках.

Правильные многоугольники связаны с вписанными и описанными окружностями: изучение этих фигур помогает понять расположение вершин и сторон относительно окружности. Их равные стороны и углы также создают симметричный рисунок. Поэтому такие многоугольники встречаются и в задачах на симметрию и геометрические построения.

Что запомнить

• У n-угольника n сторон и n вершин.
• Диагональ соединяет две несоседние вершины.
• Из одной вершины выпуклого n-угольника выходят n − 3 диагонали.
• Число диагоналей выпуклого n-угольника равно n(n − 3)/2.
• Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180°(n − 2).
• У правильного n-угольника каждый внутренний угол равен 180°(n − 2)/n.