"Геометрия", Погорелов А.В.
Теорема — утверждение о геометрических объектах, истинность которого подтверждают рассуждением. В её формулировке отделяют условие — то, что известно, — от заключения, которое требуется доказать. Доказательство связывает условие и заключение последовательными шагами, каждый из которых опирается на определения, аксиомы или ранее доказанные теоремы. Чертёж помогает увидеть отношения, но не заменяет обоснование.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Теорема — утверждение, истинность которого устанавливают рассуждением. Это не определение: определение объясняет значение термина, а теорема сообщает о свойстве фигур или отношений между ними. Теорему также отличают от уже известных фактов: для неё нужно привести обоснование, опираясь на известные основания.
Условие и заключение теоремы — две части её формулировки. Условие перечисляет, что дано, а заключение сообщает, что из этого требуется доказать. Такое разделение помогает понять задачу: заключение можно переформулировать словами «доказать, что…».
Доказательство — последовательное обоснование заключения теоремы. В нём используют определения, аксиомы и утверждения, которые уже доказаны. Доказательство нужно, чтобы показать не только то, что результат кажется верным, но и почему он обязательно следует из условия.
Аксиома — утверждение, принимаемое без доказательства и используемое при обосновании других утверждений. Геометрическое рассуждение не может начинаться с бесконечного ряда доказательств, поэтому нужны исходные положения. На них строят теоремы, а затем применяют их в задачах.
Геометрия изучает свойства фигур, и одного наблюдения за ними недостаточно: измерения могут быть неточными, а чертёж показывает лишь отдельный случай. Теоремы позволяют обосновать, почему свойство выполняется не только на конкретном рисунке, но и при всех условиях, указанных в формулировке. Благодаря этому геометрические знания можно надёжно применять при решении задач.
Чтобы начать рассуждение, формулировку делят на данные и то, что нужно получить. Например, если сказано, что два угла вертикальные, это условие; утверждение об их равенстве будет заключением. Запись «дано — доказать» помогает не подменить задачу другой: сперва перечисляют известное, а затем точно формулируют требуемый вывод.
Доказательство строят на основаниях, которые уже приняты или проверены. Определение позволяет узнать, что означает термин, аксиома служит исходным положением, а доказанная теорема даёт готовое свойство. Такая опора нужна, чтобы рассуждение не зависело от догадки и чтобы каждый вывод можно было проверить.
Доказательство должно быть цепочкой, потому что заключение обычно не следует из условия напрямую. Сначала находят промежуточный факт, затем используют его вместе с другими известными сведениями и приходят к требуемому выводу. Каждый переход нужно объяснить: читатель должен видеть, из какого условия или утверждения он получен.
Чертёж помогает представить объекты и заметить возможные связи между ними. Но линии могут быть нарисованы не в точном масштабе, поэтому равенство углов или отрезков нельзя считать доказанным только по внешнему виду. Рисунок подсказывает, что проверить, а обоснование должно опираться на свойства и условия.
Таблица показывает, чем отличаются основные виды утверждений и как они участвуют в рассуждении. При решении задачи сначала определите, с каким видом утверждения вы имеете дело, а затем выясните, нужно ли его доказывать. Это помогает выбрать подходящее основание для каждого шага.
| Вид утверждения | Что означает | Нужно ли доказывать | Как используется |
|---|---|---|---|
| Определение | Объясняет смысл геометрического понятия | Нет: его принимают как пояснение термина | Помогает распознать объекты и их свойства |
| Аксиома | Исходное утверждение, принимаемое без доказательства | Нет | Служит основанием для рассуждений |
| Теорема | Утверждение о свойствах объектов | Да, если оно ещё не доказано | Используется после доказательства для новых выводов |
| Доказательство | Связанные рассуждения, обосновывающие заключение | Само является обоснованием теоремы | Показывает, почему заключение следует из условия |
Задача 1. Выделить условие и заключение теоремы о равенстве вертикальных углов. Вертикальные углы — это углы, стороны одного из которых являются продолжениями сторон другого. Нужно отделить это условие от утверждения об их равенстве, а не считать равенство очевидным по рисунку.
Ответ: условие — углы вертикальные; заключение — их величины равны. Разделение на две части показывает, что именно дано и какой факт предстоит обосновать.
Задача 2. Доказать, что если два угла смежные и равны, то каждый из них прямой. Смежные углы имеют общую сторону, а две другие стороны являются противоположными лучами, поэтому их сумма равна развёрнутому углу, то есть 180°. Из равенства углов следует, что эта сумма складывается из двух одинаковых величин.
Ответ: каждый угол равен 90° и является прямым. Здесь вывод основан на определении смежных углов и условии об их равенстве.
Задача 3. По рисунку с пересекающимися прямыми определить, равны ли вертикальные углы, и обосновать ответ. Даже если на чертеже углы выглядят одинаковыми, это ещё не доказательство: рисунок может быть неточным. Обозначим один из вертикальных углов α, другой — β, а один из углов, смежных с ними, — γ.
Ответ: вертикальные углы равны. Мы получили это не по внешнему виду рисунка, а выразили каждый угол через один и тот же смежный угол.
Считать утверждение доказанным по чертежу. Так делают, потому что рисунок зрительно подсказывает, какие углы равны или какие отрезки имеют одинаковую длину. Но изображение может быть неточным и не показывает все возможные случаи. Проверь себя: можешь ли ты обосновать вывод известным свойством, не ссылаясь на внешний вид?
Путать условие с заключением. Если перепутать известное и требуемое, можно доказывать факт, который в задаче уже дан, или получить не тот результат. Ошибка возникает, когда читают формулировку целиком, не выделяя её части. Проверь себя записью «дано — доказать» и убедись, что вывод не включён в условие.
Ссылаться на теорему без проверки её условий. Даже верная теорема не подходит автоматически к любой задаче: для её применения должны выполняться нужные условия. Ученик иногда вспоминает знакомое свойство и сразу записывает результат. Проверь, совпадают ли объекты и отношения в задаче с теми, о которых говорится в теореме.
Пропускать промежуточные шаги. Краткий переход может казаться очевидным автору, но читателю будет непонятно, как из условия получено заключение. Обычно так происходит, когда в уме объединяют несколько рассуждений. Проверь каждый переход вопросом «на каком основании это следует?» и запиши нужное определение или известное свойство.
Перед изучением доказательств полезно уметь пользоваться определениями геометрических объектов и свойствами углов. Также нужно различать данные и искомое в задаче: это помогает правильно отделять условие теоремы от заключения. На этих умениях строится дальнейшее рассуждение.
Доказательства понадобятся при изучении свойств треугольников и других фигур. Они помогут не просто угадывать ответ по чертежу, а объяснять, почему свойство верно, и переносить его на разные задачи. Чем точнее выстроена цепочка рассуждений, тем легче проверять решение.
Чем теорема отличается от определения?
Определение объясняет, что означает геометрический термин, например «смежные углы». Теорема утверждает, какое свойство верно для объектов, и это свойство нужно обосновать.
Что в теореме называют условием, а что — заключением?
Условие — сведения, которые считаются данными в формулировке. Заключение — утверждение, которое из этих сведений нужно доказать.
Почему аксиомы принимают без доказательства?
Аксиомы служат исходными основаниями геометрии: их принимают как верные, чтобы не доказывать бесконечную цепочку утверждений. На них и на уже доказанные теоремы опираются в дальнейших рассуждениях.
Можно ли доказать геометрическое утверждение одним чертежом?
Нет. Чертёж может быть неточным, а видимая на нём особенность не обязательно верна для всех случаев. Он помогает представить ситуацию, но вывод нужно подтвердить рассуждением.
На какие утверждения можно ссылаться в доказательстве?
На определения, аксиомы и теоремы, которые уже доказаны. При этом нужно проверить и объяснить, почему условия выбранного утверждения подходят к данной задаче.
12. Теоремы и доказательства
