"Геометрия", Погорелов А.В.
Треугольник, равный данному, имеет ту же форму и размеры: при совмещении совпадают его соответствующие вершины, стороны и углы. Построение показывает, что такой треугольник можно получить с помощью циркуля и линейки, если заданы исходный треугольник и положение одной его стороны или вершины. Соответствие вершин и выбор полуплоскости помогают не перепутать элементы и получить ровно один результат.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равные треугольники — треугольники, которые при совмещении совпадают всеми точками. Значит, совпадают не только их очертания: каждая сторона и каждый угол одного треугольника накладываются на соответствующие сторону и угол другого. Это понятие позволяет точно сказать, что два треугольника имеют одинаковые форму и размер.
Соответствующие вершины — вершины двух треугольников, которые совпадают при их совмещении. Например, если вершине A отвечает вершина O, то сторонам AB и AC отвечают стороны с началом в O. Сначала устанавливают такое соответствие, чтобы затем сравнивать именно нужные стороны и углы.
Треугольник, равный данному — треугольник, который можно совместить с заданным так, чтобы их соответствующие элементы совпали. Он может быть расположен в другом месте или повернут, но размеры и форма останутся теми же. Такое построение нужно, когда требуется получить заданную фигуру в определённом положении.
Единственность построения означает, что при заданных условиях получается только один треугольник, если не считать простого наложения одной и той же фигуры. Положение стороны, соответствие вершин и выбранная полуплоскость ограничивают варианты. Это помогает отличить точное построение от нескольких возможных расположений.
Исходный треугольник задают его стороны и углы. Эти величины описывают его форму и размеры: длины показывают, насколько протяжённы стороны, а углы — как они наклонены друг к другу. Чтобы построить равный треугольник, достаточно перенести подходящие элементы, сохраняя соответствие вершин; тогда новые элементы будут относиться друг к другу так же, как исходные.
Пусть задан треугольник ABC и луч OX. Для будущего треугольника ODE выберем соответствие A→O, B→D, C→E. Вершина O уже задана, а D должна находиться на луче, поэтому сторону AB нужно расположить вдоль луча. Такое условие фиксирует и положение первой вершины, и направление одной стороны, не позволяя треугольнику произвольно перемещаться.
Теперь на луче откладывают отрезок OD, равный AB. При вершине O строят угол, равный углу A, так, чтобы его вторая сторона шла в заданную полуплоскость относительно OX. Причина такого шага в том, что угол A задаёт направление стороны AC относительно AB. Пересечение этого направления с отрезком длины AC определяет вершину E.
На второй стороне построенного угла откладывают OE = AC, а затем соединяют E и D. Получается треугольник ODE: его стороны OD и OE равны AB и AC, а угол DOE равен углу BAC. Эти элементы относятся к тем же вершинам, что и в исходном треугольнике. Поэтому при наложении сначала совпадут две стороны и угол между ними, а вместе с ними — и третьи вершины.
При фиксированном луче отрезок OD заданной длины откладывается от O в единственном направлении. Равный угол в выбранной полуплоскости тоже задаёт одно направление для OE, а его длина уже определена равенством OE = AC. Следовательно, точка E и весь треугольник определяются однозначно. Если не выбрать полуплоскость, возможен зеркальный вариант по другую сторону луча.
| Что задано | Как используют при построении | Что определяет |
|---|---|---|
| Исходный треугольник | Снимают нужные длины сторон и величины углов | Размеры и форму нового треугольника |
| Луч с выбранным началом | На нём откладывают соответствующую сторону | Положение первой стороны и одной вершины |
| Выбранная полуплоскость | В ней строят соответствующий угол | С какой стороны от луча расположится третья вершина |
| Соответствие вершин | Сопоставляют элементы исходного и нового треугольников | Какие стороны и углы должны совпасть |
| Результат построения | Проверяют равенство соответствующих элементов | Равный исходному и единственный при заданных условиях треугольник |
Пользуйся таблицей как последовательностью проверки: сначала найди, какие данные уже заданы, затем свяжи их с нужными элементами исходного треугольника. В конце проверь не только совпадение длин и углов, но и то, что вершины расположены в требуемой полуплоскости.
Задача 1. Дан треугольник ABC и луч OX. Построить треугольник ODE, равный ABC, чтобы D лежала на луче OX, а E — в заданной полуплоскости. По условию O соответствует A, D соответствует B, а E соответствует C. Значит, нужно перенести сторону AB на луч, а при O воспроизвести угол A.
Проверка: OD = AB, OE = AC, а угол DOE равен BAC, причём это угол между соответствующими сторонами. Поэтому построенный треугольник равен ABC. Ответ: треугольник ODE, построенный указанным способом.
Задача 2. Нужно построить треугольник, равный данному, если одна его вершина должна совпасть с заданной точкой, а остальные вершины — лежать в указанной полуплоскости. Сначала выберем, какая вершина исходного треугольника соответствует заданной точке. Например, пусть A соответствует O; тогда стороны AB и AC должны выйти из O, а угол между ними равняться углу A.
Поскольку обе стороны и угол между ними перенесены без изменения, получившийся треугольник равен исходному. Ответ: построенный треугольник; если сторона и её направление не были заданы, их нужно выбрать в соответствии с условиями задачи.
Задача 3. Треугольник по исходному образцу построен в двух положениях. Требуется выбрать положение, в котором нужная вершина лежит на заданном луче, а третья вершина — в заданной полуплоскости, и обосновать единственность. Два изображения могут выглядеть зеркально, но условие о полуплоскости разрешает не оба варианта.
Значит, подходит ровно тот вариант, который одновременно соблюдает соответствие вершин и условия расположения. Второго отличного результата быть не может: длина стороны, направление угла и положение третьей вершины уже определены. Ответ: вариант в указанной полуплоскости; построение единственно.
Путают соответствие вершин. Тогда сравнивают стороны или углы, которые не должны совпадать друг с другом. Это случается, если сразу переносить элементы, не записав порядок вершин. Перед построением обозначь соответствие, например A→O, B→D, C→E, и проверь, что AB сопоставлена OD, а угол A — углу O.
Не фиксируют положение первой вершины или стороны. Можно получить множество одинаковых треугольников, просто перемещая или поворачивая фигуру. Ошибка возникает, когда слово «равный» принимают за указание на единственное место. Проверь, задана ли точка для вершины и направление для стороны; если нет, постройка может иметь разные положения.
Игнорируют полуплоскость. Один и тот же угол можно отложить по разные стороны от луча, и вершины окажутся зеркальными. Оба треугольника равны исходному, но условию о расположении может отвечать только один. Проверь, по какую сторону от луча должна находиться третья вершина, и строй угол именно там.
Доказывают равенство только внешним сходством. На глаз фигуры могут казаться одинаковыми, но это не подтверждает совпадение соответствующих элементов. Причина ошибки — проверка рисунка вместо условий построения. Укажи равные соответствующие стороны и углы и проследи, чтобы они относились к сопоставленным вершинам.
Для построения нужны луч, полуплоскость, угол, а также умение откладывать равные отрезки и углы. Оно опирается на понятие равных треугольников: прежде чем сравнивать элементы, надо установить соответствие их вершин. Позже эта идея поможет изучать признаки равенства треугольников и выполнять геометрические построения по заданным условиям.
Что значит построить треугольник, равный данному?
Это значит построить треугольник той же формы и размера, что заданный. Его можно совместить с исходным так, чтобы совпали соответствующие вершины, стороны и углы.
Какие элементы исходного треугольника нужно перенести?
Нужно перенести соответствующие стороны и углы, соблюдая заранее выбранный порядок вершин. Например, можно отложить одну сторону, построить угол при её конце, а затем отложить вторую сторону этого угла.
Зачем при построении задают луч?
Луч задаёт направление одной стороны будущего треугольника и фиксирует положение его вершины. Поэтому построение не может свободно поворачиваться вокруг выбранной точки.
Почему нужно указывать полуплоскость для третьей вершины?
Если задана только сторона, угол можно построить по разные стороны от неё. Указанная полуплоскость выбирает одно из этих зеркальных положений.
Как доказать, что построенный треугольник единственный?
Нужно показать, что заданные условия однозначно задают первую сторону и угол при её конце, а отложенная сторона имеет единственную длину и направление. Выбор полуплоскости исключает зеркальный вариант, поэтому другого результата, отличного от построенного, нет.
10. Существование треугольника, равного данному
