§ 7. Третий признак равенства треугольников

Определения и обозначения

Третий признак равенства треугольников гласит: если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, то треугольники равны. Слово «соответственно» означает, что стороны сопоставлены попарно. Этот признак позволяет доказать равенство треугольников, не выясняя заранее, равны ли их углы.

Соответствующие стороны — это стороны двух треугольников, которые сопоставляются друг другу при проверке равенства. Например, если вершина A соответствует A₁, а вершина B — B₁, то сторона AB соответствует A₁B₁. Такое соответствие нужно, чтобы не перепутать стороны и правильно записать условие признака.

Равные треугольники — это треугольники, которые при наложении совмещаются. Значит, при таком наложении совпадают и их соответствующие стороны, и углы. Это понятие помогает понять, что именно мы доказываем, применяя признак: один треугольник можно совместить с другим целиком.

Запись AB = A₁B₁ означает, что длины именно этих двух отрезков равны. Одновременно запись показывает, что сторона AB сопоставлена стороне A₁B₁. Такие обозначения нужны для ясной записи доказательства и помогают проверить, что все три равенства относятся к одной паре треугольников.

Как это устроено

Почему хватает трёх пар сторон, если углы неизвестны? Три стороны задают форму треугольника: при их фиксированных длинах нельзя получить другой треугольник с иной формой, который не совмещался бы с первым. Если наложить один треугольник на другой, можно совместить пару равных сторон. Положение оставшихся вершин тогда определяется длинами двух других сторон, поэтому вершины также совпадут.

Перед доказательством полезно обозначить оба треугольника и установить, какие вершины соответствуют друг другу. Затем запиши равенства сторон в едином порядке, например AB = A₁B₁, BC = B₁C₁ и AC = A₁C₁. Это помогает увидеть, что проверены все три стороны и ни одна из них не сопоставлена случайно с другой.

Представь наложение двух треугольников: сначала совмести одну пару равных сторон. Концы этой стороны совпадут, а третья вершина каждого треугольника должна находиться на расстоянии, равном длине второй стороны, от одного конца и длине третьей — от другого. При равных соответствующих сторонах эти расстояния одинаковы, поэтому третьи вершины тоже совмещаются. Значит, совпадают оба треугольника целиком.

Нельзя подбирать соответствие отдельно для каждой пары сторон. Если сторона AB сопоставлена A₁B₁, а сторона BC — не той стороне, которая соединяет соответствующие вершины, запись уже не описывает одно и то же наложение. Чтобы проверить себя, сначала сопоставь вершины, а потом назови стороны по концам этих вершин. Все три равенства должны связывать одни и те же два треугольника.

В задаче сначала выдели треугольники, равенство которых требуется доказать. Затем выпиши три пары их сторон и для каждой укажи основание равенства: условие, общая сторона или ранее доказанный факт. Если все пары установлены, сформулируй вывод по третьему признаку. Такой порядок делает доказательство полным и показывает, откуда взялось каждое необходимое равенство.

Признаки равенства треугольников

Сначала определи, какие данные есть в задаче, а затем выбери подходящий признак. Для третьего признака не нужны сведения об углах: достаточно трёх равенств сторон. В любом случае проверь, что элементы сопоставлены между собой в правильном порядке.

Разбор задач

Задача 1. У треугольников ABC и A₁B₁C₁ равны стороны AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, AC и A₁C₁. Докажем равенство треугольников. Здесь соответствие вершин задано порядком записи: A — A₁, B — B₁, C — C₁.

1. Запишем первую пару равных сторон: AB = A₁B₁.
2. Запишем вторую пару: BC = B₁C₁.
3. Запишем третью пару: AC = A₁C₁. Все три пары относятся к одним и тем же треугольникам и согласованы с указанным порядком вершин.
4. По третьему признаку равенства треугольников заключаем, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.

Ответ: △ABC = △A₁B₁C₁ по третьему признаку. В этой задаче все нужные равенства даны прямо, поэтому остаётся проверить их соответствие и сформулировать вывод. Углы отдельно искать не требуется.

Задача 2. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O. Известно, что AO = OB и CO = OD, а также AC = BD. Докажем равенство треугольников AOC и BOD. Нужно проверить, что отрезки из условия действительно являются их сторонами.

1. У треугольника AOC есть стороны AO, OC и AC, а у BOD — BO, OD и BD.
2. По условию AO = OB, то есть AO = BO. Также CO = OD, поэтому OC = OD: это те же отрезки, названные в обратном порядке.
3. Третья пара равна по условию: AC = BD. Таким образом, найдены все три пары соответствующих сторон.
4. По третьему признаку △AOC = △BOD.

Ответ: △AOC = △BOD. Здесь важно не принять за сторону треугольника весь отрезок AB или CD: в доказательстве используются части, ограниченные точкой O. Каждое равенство обосновано условием задачи.

Задача 3. В треугольнике ABC точка D лежит на стороне BC, причём AB = AC и BD = DC. Докажем равенство треугольников ABD и ACD. Сначала перечислим их стороны, чтобы не упустить общий отрезок.

1. Стороны треугольника ABD — AB, BD и AD; стороны ACD — AC, CD и AD.
2. По условию AB = AC и BD = DC.
3. Сторона AD общая для обоих треугольников, поэтому AD = AD.
4. Получены три пары равных соответствующих сторон. По третьему признаку △ABD = △ACD.

Ответ: △ABD = △ACD. Из равенства треугольников далее можно заключить, что соответствующие углы равны, например ∠BAD = ∠DAC. Это следствие появляется уже после доказательства равенства треугольников.

Типичные ошибки

Ошибка — считать достаточными две пары равных сторон. Их часто используют потому, что условия задачи сообщают именно о них, но третьи стороны при этом могут быть разными. Проверь себя: для третьего признака в записи должны быть ровно три пары соответствующих сторон.

Ошибка — сопоставлять стороны в разном порядке. Она возникает, если сравнивать только названия отрезков и не следить за вершинами; тогда равенства могут относиться к разным соответствиям. Сначала установи пары соответствующих вершин, затем проверь по ним все три стороны.

Ошибка — сразу объявлять треугольники равными, заметив несколько равных отрезков. Равенство сторон само по себе ещё не является выводом о равенстве треугольников, пока не установлены все три пары. Для проверки выпиши эти пары и после них назови третий признак.

Ошибка — использовать равенство стороны, которое не доказано. Так бывает, когда нужное равенство кажется очевидным или его путают с равенством другого отрезка. Для каждой из трёх пар укажи основание: условие, общая сторона или ранее полученный факт.

Связь с другими темами

Для работы с третьим признаком нужно уметь обозначать треугольники и их стороны, понимать, какие отрезки соответствуют друг другу, и пользоваться свойством равных отрезков. Также пригодятся два ранее изученных признака равенства треугольников: в разных задачах исходные данные могут быть разными. Выбор признака зависит от того, какие элементы уже удалось установить.

Доказанные равенства треугольников помогают находить равные отрезки и углы, доказывать свойства фигур и обосновывать геометрические построения. После применения признака можно использовать равенство соответствующих элементов как новый факт. Поэтому такой способ доказательства часто становится промежуточным шагом в более сложной задаче.

Что запомнить

• Третий признак относится к трём парам соответствующих сторон.
• Все три равенства сторон должны относиться к одной паре треугольников.
• Порядок соответствия вершин и сторон важен.
• Если три соответствующие стороны равны, треугольники равны.
• После доказательства равенства треугольников можно заключать о равенстве их соответствующих углов и сторон.