§ 8. Линии в треугольнике

Определения и обозначения

Медиана треугольника — отрезок, который соединяет вершину с серединой противоположной стороны. Например, если M — середина BC, то AM — медиана треугольника ABC из вершины A. Это определение помогает проверить, действительно ли отрезок является медианой: его конец должен попасть именно в середину стороны.

Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла треугольника, проведённый из вершины до противоположной стороны. Если AD — биссектриса угла A, то она делит его на два равных угла: ∠BAD = ∠DAC. Это свойство используют, чтобы находить неизвестные углы и отличать биссектрису от других отрезков.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. Если AH — высота к стороне BC, то AH ⟂ BC, а точка H — основание высоты и лежит на прямой BC. Такое определение позволяет провести высоту, даже когда основание не попадает на сам отрезок BC.

Как это устроено

Чтобы провести медиану из вершины A, сначала находят середину противоположной стороны BC, а затем соединяют её с A. Середина делит отрезок на две равные части, поэтому если M — середина BC, то BM = MC. Равенство этих частей и есть признак, который отличает медиану от любого другого отрезка, проведённого к стороне. Одного соединения вершины со стороной недостаточно: конец отрезка должен оказаться в середине.

Биссектриса начинается в вершине угла и делит этот угол на две равные части. Если AD делит угол A, то ∠BAD = ∠DAC, потому что именно равенство углов задаёт биссектрису. Точка D лежит на противоположной стороне BC, но равенство углов не требует, чтобы D была серединой BC. Поэтому нельзя заключать, что BD = DC, если известно только, что AD — биссектриса.

Для построения высоты важно найти не середину и не половину угла, а прямой угол. Из вершины проводят перпендикуляр к прямой, на которой расположена противоположная сторона; точка пересечения называется основанием высоты. В остроугольном треугольнике основания высот лежат на сторонах, а в тупоугольном некоторые из них могут оказаться за пределами треугольника. Это не мешает построению: сторону мысленно или на чертеже продолжают до пересечения с перпендикуляром.

У треугольника три вершины, и из каждой можно провести линию каждого из трёх видов. Значит, в нём есть три медианы, три биссектрисы и три высоты. Например, из вершины A проводят медиану к середине BC, биссектрису угла A до BC и высоту к прямой BC. У каждой из этих линий своё условие, поэтому при чтении чертежа следует проверять не только начало отрезка, но и то, что происходит у противоположной стороны.

Сравнить линии удобно по двум вопросам: из какой вершины они выходят и какое условие выполняется у противоположной стороны. Для медианы это равенство частей стороны, для биссектрисы — равенство углов при вершине, для высоты — перпендикулярность. У всех трёх линий начало находится в вершине, но второй конец определяется по-разному. Такая проверка помогает не путать названия даже на чертеже, где линии выглядят похоже.

Три линии треугольника

Пользуйтесь таблицей как проверочным списком: сначала найдите вершину, откуда проведён отрезок, затем проверьте главное условие. Если угол разделён на равные части, это биссектриса; если сторона — на равные отрезки, это медиана. Если образован прямой угол с прямой противоположной стороны, перед вами высота.

Разбор задач

Задача 1. В треугольнике ABC точка M — середина стороны BC. Назвать отрезок, который является медианой, и обосновать ответ.

1. Медиана должна начинаться в вершине треугольника и соединяться с серединой противоположной стороны.
2. Точка M — середина BC, значит, она делит сторону на равные отрезки: BM = MC.
3. Отрезок AM соединяет вершину A с серединой противоположной стороны BC, поэтому он удовлетворяет определению медианы.

Ответ: AM — медиана треугольника ABC, проведённая из вершины A.

Задача 2. Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает BC в точке D. Если ∠BAD = 32°, найти ∠A и объяснить почему.

1. Так как AD — биссектриса, она делит угол A на две равные части. Следовательно, ∠BAD = ∠DAC.
2. По условию одна из этих частей равна 32°, значит, вторая часть также равна 32°.
3. Угол A состоит из двух полученных углов, поэтому ∠A = 32° + 32° = 64°.

Ответ: ∠A = 64°.

Задача 3. В тупоугольном треугольнике ABC провести высоту из вершины A и указать, где может лежать её основание. Обосновать построение.

1. Для высоты требуется прямой угол с прямой, содержащей противоположную сторону BC.
2. Проведите через вершину A перпендикуляр к прямой BC. Точку пересечения обозначьте H; это основание высоты.
3. Поскольку треугольник тупоугольный, H может оказаться не на отрезке BC, а на его продолжении. Поэтому при построении при необходимости продолжите BC.

Ответ: AH — высота из A, потому что AH ⟂ BC; её основание H может лежать на продолжении BC.

Типичные ошибки

Называть медианой любой отрезок из вершины к противоположной стороне — ошибка: такой отрезок может попасть не в середину. Её допускают, потому что замечают только начало и конец линии, не проверяя деление стороны. Чтобы проверить себя, убедитесь, что отрезки по обе стороны от конца медианы равны.

Иногда думают, что биссектриса делит противоположную сторону пополам. Это происходит из-за путаницы между делением угла и делением отрезка, хотя определение требует равенства именно двух углов. Проверьте, какие части равны: у биссектрисы должны совпадать углы при вершине, а равенство частей стороны из этого определения не следует.

Высоту могут принять за медиану или биссектрису, если на рисунке линии выглядят похоже. Но для высоты главное условие — перпендикулярность прямой, содержащей противоположную сторону; ни середина стороны, ни равные углы не являются обязательными. Самопроверка простая: найдите знак прямого угла или обоснование, что отрезок перпендикулярен этой прямой.

При построении высоты в тупоугольном треугольнике иногда не продолжают сторону и решают, что высоту провести нельзя. Так происходит, если искать основание только на отрезке стороны, а не на прямой, которая его содержит. Продлите нужную сторону и проведите к её прямой перпендикуляр: основание высоты может оказаться на продолжении.

Связь с другими темами

Для изучения этих линий нужно знать, что такое отрезок, угол и середина отрезка, а также понимать определения биссектрисы угла и перпендикулярных прямых. Эти понятия помогают распознавать условия, по которым проводят медиану, биссектрису и высоту. Позже линии в треугольнике пригодятся при изучении свойств равнобедренного треугольника. С их помощью также решают задачи на углы и равенство треугольников.

Что запомнить

• Из каждой вершины треугольника можно провести медиану, биссектрису и высоту.
• Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны.
• Биссектриса делит угол при вершине на два равных угла.
• Высота перпендикулярна прямой, содержащей противоположную сторону.
• Основание высоты может лежать на продолжении стороны.
• Медиана, биссектриса и высота — разные линии, определяемые разными условиями.