§ 9. Равнобедренный треугольник и его свойства

Определения и обозначения

Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны. Третья сторона может быть как отличной от них, так и равной им: в последнем случае равны все три стороны. Это определение помогает распознать треугольник по его сторонам и не исключать равносторонний случай.

Боковые стороны — две равные стороны равнобедренного треугольника. Например, если AB = AC, то AB и AC — боковые стороны. Обозначения равных сторон позволяют сразу понять, откуда проводить линию к основанию и какие треугольники удобно сравнивать.

Основание равнобедренного треугольника — третья сторона, не являющаяся боковой. Если AB = AC, основание — BC. Это название нужно, чтобы различать стороны и точно формулировать свойства линий, проведённых из вершины к основанию.

Углы при основании — углы равнобедренного треугольника, прилежащие к его основанию. При основании BC это углы ABC и BCA. Их отличают от угла между боковыми сторонами: именно углы у основания оказываются равными.

Как это устроено

Чтобы выяснить, почему углы при основании равны, проведём биссектрису угла между боковыми сторонами. Биссектриса — луч, который делит угол на две равные части; обозначим её AD, где D лежит на основании BC. Она разделяет треугольник ABC на два треугольника, ABD и ACD. Сравнение этих частей позволит установить связь между углами исходной фигуры.

В треугольниках ABD и ACD сторона AB равна AC, поскольку это боковые стороны исходного треугольника. AD — общая сторона, а углы BAD и DAC равны по определению биссектрисы. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Здесь важно сопоставлять стороны и углы, которые образуют именно эти равные части, а не просто искать любые одинаковые элементы.

У равных треугольников соответствующие углы равны, поэтому угол ABC равен углу BCA. Так получаем теорему: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Она помогает находить неизвестный угол и доказывать равенство других элементов без измерений.

Из равенства треугольников также следует, что BD = DC: биссектриса делит основание пополам, то есть является медианой. Углы ADB и ADC равны как соответствующие углы равных треугольников; они смежные и вместе составляют 180°, поэтому каждый равен 90°. Следовательно, AD перпендикулярна BC и является высотой к основанию.

Тот же результат можно сформулировать, начав не с биссектрисы вершины, а с медианы или высоты, проведённой к основанию. В каждом случае треугольники по обе стороны линии оказываются равными, поэтому линия делит угол при вершине пополам. Значит, медиана к основанию равнобедренного треугольника одновременно является высотой и биссектрисой, а высота к основанию — медианой и биссектрисой.

Элементы равнобедренного треугольника и их свойства

Сначала определите, какие стороны равны и где находится основание, а затем найдите нужную строку. Если линия проведена к основанию, можно применять сразу несколько свойств, но для линии к боковой стороне таблица таких выводов не даёт.

Разбор задач

Задача 1

В равнобедренном треугольнике ABC равны стороны AB и AC. Угол при вершине A равен 40°. Найти углы при основании. Так как основание — BC, неизвестны углы B и C; по свойству равнобедренного треугольника они равны. Сначала используем это равенство, а затем сумму углов треугольника.

1. Обозначим каждый угол при основании через x. Тогда сумма углов даёт уравнение 40° + x + x = 180°.
2. Вычтем 40°: 2x = 140°. Разделим обе части на 2 и получим x = 70°.
3. Проверим: 40° + 70° + 70° = 180°, условие выполняется.

Ответ: углы B и C равны 70°.

Задача 2

Боковые стороны равны 13 см, основание — 10 см. К основанию проведена высота; нужно найти части основания и указать свойства высоты, которыми можно воспользоваться. Поскольку высота проведена из вершины равнобедренного треугольника к основанию, она является также медианой. Значит, основание делится на две равные части.

1. Каждая часть основания равна 10 : 2 = 5 см.
2. Высота, основание и одна боковая сторона образуют прямоугольный треугольник. Его гипотенуза равна 13 см, один катет — 5 см.
3. По теореме Пифагора высота равна √(13² − 5²) = √144 = 12 см. Также эта высота является биссектрисой угла при вершине.

Ответ: части основания равны 5 см и 5 см; высота делит его пополам, перпендикулярна ему и делит угол при вершине пополам.

Задача 3

В треугольнике ABC AB = AC. Точка D лежит на BC, причём AD — медиана. Докажите, что AD перпендикулярна BC и делит угол A пополам. По определению медианы BD = DC, а отрезок AD общий для треугольников ABD и ACD. Вместе с AB = AC этого достаточно для сравнения треугольников по трём сторонам.

1. Сравним треугольники ABD и ACD: AB = AC, BD = DC и AD = AD. Следовательно, треугольники равны по трём сторонам.
2. Из равенства треугольников следует, что углы BAD и DAC равны. Значит, AD делит угол A пополам.
3. Углы ADB и ADC тоже равны. Они смежные, поэтому их сумма равна 180°, а каждый из них равен 90°. Следовательно, AD перпендикулярна BC.

Ответ: AD — биссектриса угла A и высота к основанию BC.

Типичные ошибки

Ошибка: называть основанием любую выбранную сторону. Основание — сторона, отличная от двух равных боковых; эту путаницу допускают, если сначала не определить равные стороны. Проверьте обозначения сторон: при AB = AC основанием будет BC.

Ошибка: считать, что в равнобедренном треугольнике обязательно равны все три стороны. По определению равны как минимум две, а третья может отличаться; заблуждение возникает из-за смешения равнобедренного и равностороннего треугольников. Для проверки сопоставьте длины сторон: равенства одной пары достаточно.

Ошибка: путать углы при основании с углом между боковыми сторонами. Равны именно два угла, прилежащие к основанию, а не обязательно угол при вершине; это легко проверить, отметив, какие стороны образуют каждый угол. Если основание BC, углы при основании находятся у B и C.

Ошибка: переносить свойства медианы, высоты или биссектрисы на любую сторону произвольного треугольника. Совпадение этих линий действует для линии к основанию равнобедренного треугольника, а без условий такого вывода сделать нельзя. Проверьте, равны ли две другие стороны и проведена ли линия именно к основанию.

Связь с другими темами

Для работы с этой темой нужно знать, что такое сторона и угол, а также понимать определения биссектрисы, медианы и высоты. Ещё понадобится признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними или по трём сторонам. Свойства равнобедренного треугольника используют, чтобы доказывать равенство элементов и находить неизвестные углы и стороны. Тема помогает перейти к изучению равностороннего треугольника и других признаков равенства треугольников.

Что запомнить

• В равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны.
• Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
• Биссектриса угла при вершине является медианой и высотой к основанию.
• Медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.
• Высота, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.
• Сумма углов треугольника равна 180°.