§ 6. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек

Определения и обозначения

Геометрическое место точек — множество всех точек, обладающих заданным свойством, и только таких точек. Например, можно искать все точки, которые находятся на одинаковом расстоянии от двух заданных точек. Это понятие помогает описать ответ целиком: не одну подходящую точку, а все возможные точки.

Точки равноудалены от двух точек, если расстояния от них до этих точек равны. Если точка M равноудалена от A и B, это записывают так: MA = MB. Такое равенство позволяет рассматривать треугольник MAB и использовать его свойства.

Серединный перпендикуляр к отрезку — прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему. Если O — середина AB, то AO = OB, а прямая через O образует с AB прямой угол. Именно эту прямую нужно будет проверить как возможное геометрическое место точек, равноудалённых от A и B.

Как это устроено

Поставим задачу: даны две различные точки A и B, и нужно найти все точки, расстояния от которых до них одинаковы. Обозначим такую точку через M; требуемое условие записывается как MA = MB. Искомых точек может быть много, поэтому нужно найти линию или фигуру, которая содержит каждую из них и не содержит лишних точек.

Сначала проверим точки на серединном перпендикуляре к AB. Пусть O — середина AB, а M лежит на перпендикуляре через O; соединим M с A и B. Треугольники MOA и MOB прямоугольные, потому что MO перпендикулярна AB. У них общий катет MO, а вторые катеты равны: OA = OB, так как O — середина. Значит, треугольники равны по двум катетам, а их гипотенузы MA и MB равны.

Теперь проверим обратное: пусть MA = MB, и нужно доказать, что M лежит на серединном перпендикуляре. Возьмём середину O отрезка AB и проведём MO. В треугольнике MAB стороны MA и MB равны, поэтому он равнобедренный, а AB — его основание. Медиана MO, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является высотой: MO перпендикулярна AB. Поскольку O — середина AB, прямая MO и есть серединный перпендикуляр.

Получились два направления: каждая точка серединного перпендикуляра подходит, и каждая подходящая точка лежит на нём. Значит, эта прямая содержит все нужные точки и никаких лишних. Середина O тоже подходит: OA = OB, поэтому она входит в геометрическое место. При этом A и B ему не принадлежат: например, расстояние от A до A равно нулю, а от A до B — длине AB.

Свойства геометрического места точек, равноудалённых от A и B

В таблице собраны два направления утверждения. Читай каждую пару строк как переход от условия к выводу: положение точки определяет равенство расстояний, а равенство расстояний — положение точки.

Если в задаче известно, что точка лежит на серединном перпендикуляре, используй вторую строку для вывода о расстояниях. Если даны равные расстояния до A и B, применяй обратное направление. Последняя строка сразу сообщает искомое геометрическое место.

Разбор задач

Построение геометрического места

Условие. Даны точки A и B. Постройте все точки, равноудалённые от них. Здесь не требуется искать отдельные точки: нужно получить линию, которая состоит из всех точек с нужным свойством.

1. Соедини A и B и получи отрезок AB. Найди его середину O, так что AO = OB. Это обеспечивает равное расстояние от O до обоих концов.
2. Через O проведи прямую, перпендикулярную AB. Она называется серединным перпендикуляром к AB. Одной только середины недостаточно: для построения нужна именно перпендикулярная прямая.
3. Проверь результат по свойству: любая точка проведённой прямой равноудалена от A и B, и любая равноудалённая точка лежит на этой прямой. Поэтому построенное множество полное и не содержит лишних точек.

Ответ: серединный перпендикуляр к AB.

Точка лежит на серединном перпендикуляре

Условие. Точка M лежит на серединном перпендикуляре к AB. Нужно объяснить, почему MA = MB. Здесь известным является положение M, поэтому удобно сравнить треугольники, образованные этой точкой и концами отрезка.

1. Обозначь через O середину AB и соедини M с A и B. Так получаются треугольники MOA и MOB, в которых общим элементом является отрезок MO.
2. Оба треугольника прямоугольные, потому что MO перпендикулярна AB. При этом OA = OB, так как O — середина, а MO — общий катет.
3. По двум катетам прямоугольные треугольники равны. Их гипотенузы тоже равны, поэтому MA = MB.

Ответ: расстояния от M до A и B равны, потому что соответствующие гипотенузы равных прямоугольных треугольников равны.

Равноудалённая точка лежит на серединном перпендикуляре

Условие. Известно, что MA = MB. Докажите, что M лежит на серединном перпендикуляре к AB. Теперь исходным является равенство расстояний, значит, треугольник MAB равнобедренный и можно воспользоваться его свойствами.

1. Возьми середину O отрезка AB и проведи MO. Тогда AO = OB, то есть MO является медианой треугольника MAB, проведённой к основанию AB.
2. По условию боковые стороны MA и MB равны. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, одновременно является высотой, поэтому MO перпендикулярна AB.
3. Прямая MO проходит через середину AB и перпендикулярна AB. Это и есть определение серединного перпендикуляра, следовательно, M лежит на нём.

Ответ: M лежит на серединном перпендикуляре к AB. Если M совпадает с серединой O, вывод также верен: O принадлежит этой прямой.

Типичные ошибки

• Иногда доказывают только, что точка на серединном перпендикуляре равноудалена от A и B. Этого недостаточно для описания всего геометрического места: ещё нужно показать, что всякая равноудалённая точка лежит на этой прямой. Проверь себя вопросом: доказаны ли оба направления утверждения?

• Можно ошибочно провести через середину AB любую прямую и назвать её серединным перпендикуляром. Но по определению она должна образовывать прямой угол с AB. Проверь построение: прямая должна проходить через середину и быть перпендикулярной отрезку одновременно.

• Серединный перпендикуляр путают с медианой или высотой треугольника, хотя эти линии не всегда совпадают. Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны, а высота перпендикулярна стороне и проходит через вершину. Проверь, какие именно условия есть в задаче: совпадение свойств возникает, например, у медианы к основанию равнобедренного треугольника.

• Иногда середину AB не включают в геометрическое место, считая, что нужны только точки по обе стороны от отрезка. Но середина O сама равноудалена от концов: OA = OB. Проверь любой кандидат подстановкой в условие расстояний — если они равны, точка подходит.

Связь с другими темами

Для доказательства понадобятся определения середины отрезка и перпендикулярных прямых, а также признак равенства прямоугольных треугольников. Обратное утверждение опирается на свойство равнобедренного треугольника: медиана к основанию является высотой. Знание геометрического места помогает строить циркулем и линейкой точки, равноудалённые от двух объектов. Тот же способ рассуждения применяют, когда нужно определить множество точек с одинаковыми расстояниями.

Что запомнить

• Геометрическое место точек — это все точки с заданным свойством.
• Серединный перпендикуляр проходит через середину отрезка и перпендикулярен ему.
• Каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка.
• Каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на его серединном перпендикуляре.
• Геометрическое место точек, равноудалённых от A и B, — серединный перпендикуляр к AB.