§ 10. Признаки равнобедренного треугольника

Определения и обозначения

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Например, если AB = AC, то треугольник ABC равнобедренный. Это определение помогает сразу увидеть пары равных сторон, а признаки ниже позволяют распознать такой треугольник и без готового равенства сторон.

Равные стороны равнобедренного треугольника называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием. Если AB = AC, то AB и AC — боковые стороны, BC — основание. Такое название удобно, когда нужно точно указать, какие именно стороны участвуют в доказательстве.

Признак равнобедренного треугольника — это условие, по которому можно заключить, что две его стороны равны. Например, равенство двух углов или особое свойство проведённого отрезка может стать таким условием. Признак нужен, когда равенство сторон ещё не дано, но требуется его доказать.

Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны, а высота опускается из вершины перпендикулярно к противоположной стороне или её продолжению. Биссектриса делит угол на два равных угла. Эти определения понадобятся, чтобы распознавать, когда один и тот же отрезок выполняет сразу две роли.

Как это устроено

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, а против равных углов — равные стороны. Поэтому, если два угла одинаковы, стороны напротив них должны быть одинаковой длины. Это следует из теоремы о соотношении сторон и углов, а не из того, как треугольник выглядит на чертеже.

Первый признак формулируется так: если два угла треугольника равны, то противолежащие им стороны равны, следовательно, треугольник равнобедренный. Например, равенство ∠A и ∠C означает равенство сторон BC и AB. При поиске нужных сторон смотри именно напротив какого угла лежит каждая сторона.

Пусть медиана из вершины A проведена к стороне BC и одновременно является высотой. Обозначим её основание буквой M: тогда BM = MC, а AM перпендикулярна BC. Треугольники ABM и ACM прямоугольные, имеют равные катеты AM и BM = MC, поэтому они равны; значит, AB = AC. Именно дополнительное свойство высоты позволяет получить равенство, которого одна медиана не даёт.

Если биссектриса AD одновременно является медианой, то D — середина BC, поэтому BD = DC. Биссектриса делит угол A пополам, значит, углы BAD и DAC равны, а AD — общая сторона треугольников ABD и ACD. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому AB = AC и исходный треугольник равнобедренный.

В доказательствах двух последних признаков общий ход похож: проведённый отрезок делит исходный треугольник на два меньших. Сначала нужно выписать, какие их стороны и углы равны по условию или по определению медианы, высоты и биссектрисы. Затем выбрать подходящий признак равенства треугольников и перенести равенство на нужные стороны.

Признаки равнобедренного треугольника

Пользуйся таблицей так: сначала найди в условии задачи данное равенство или совмещение свойств отрезка. Затем выбери соответствующий вывод и способ доказательства. Если дана только медиана без дополнительного условия, ни один из двух признаков с отрезками пока не подходит.

Разбор задач

Задача 1

В треугольнике ABC углы A и C равны. Докажите, что стороны AB и BC равны. Нужно определить, какие стороны лежат напротив указанных углов. Применим признак по равенству углов.

1. По условию ∠A = ∠C. Против угла A лежит сторона BC.
2. Против угла C лежит сторона AB. По теореме о соотношении сторон и углов равным углам противолежат равные стороны.
3. Значит, BC = AB, что и требовалось доказать.

Ответ: AB = BC. Здесь важно не перепутать соответствие: сторона напротив A — BC, а напротив C — AB. Так как две стороны треугольника равны, ABC — равнобедренный с основанием AC.

Задача 2

В треугольнике ABC медиана AM к стороне BC является также высотой. Докажите, что AB = AC. Медиана даёт равенство BM и MC, а высота — прямые углы при M. Поэтому удобно сравнить треугольники ABM и ACM.

1. Так как AM — медиана, M — середина BC, следовательно, BM = MC. Сторона AM общая для треугольников ABM и ACM.
2. Так как AM — высота, ∠AMB = ∠AMC = 90°. Получаем прямоугольные треугольники с равными катетами AM и BM = MC.
3. Треугольники ABM и ACM равны по двум катетам. Поэтому их гипотенузы AB и AC равны.

Ответ: AB = AC. Равенство маленьких треугольников связывает стороны, которые нужно сравнить. Значит, ABC — равнобедренный, а BC — его основание.

Задача 3

В треугольнике ABC биссектриса AD является медианой. Докажите, что AB = AC. Биссектриса даёт равенство углов при A, а медиана — равенство отрезков BD и DC. Сравним треугольники ABD и ACD.

1. Из того, что AD — медиана, следует BD = DC. Отрезок AD является общей стороной треугольников.
2. Из того, что AD — биссектриса, следует ∠BAD = ∠DAC. Это углы между равными сторонами AB, AC пока не известны, поэтому используем признак равенства по двум сторонам и углу между ними: стороны AD равны сами себе и BD = DC, а угол между ними при D не задан напрямую.
3. Поскольку B, D и C лежат на одной прямой, смежные углы ADB и ADC равны: каждый составляет 180° с другим, но одного этого недостаточно. Вместе с равенством углов при A и общей стороной AD применяем второй признак равенства треугольников; получаем AB = AC.

Ответ: AB = AC. Для этой задачи нужно сравнивать углы и стороны в одинаковом порядке: ∠BAD = ∠DAC, AD — общая сторона, BD = DC. По этим двум сторонам и углу между ними треугольники ABD и ACD равны, откуда следуют равные стороны AB и AC.

Типичные ошибки

Путают условие и вывод признака: при равенстве двух углов могут назвать равными прилежащие стороны. Ошибку легко допустить, если смотреть на чертёж, а не находить сторону напротив каждого угла. Проверь себя: напротив ∠A в ABC лежит BC, а напротив ∠C — AB.

Считают, что любой медианы достаточно для доказательства равнобедренности. Медиана гарантирует только деление одной стороны пополам, но не равенство двух других сторон. Проверь условие: медиана должна быть ещё и высотой либо биссектрисой, чтобы применить соответствующий признак.

При сравнении треугольников записывают слишком мало равных элементов или неверно сопоставляют вершины. Так можно ошибочно перенести равенство на стороны, которые не соответствуют друг другу. Перед выводом перечисли данные стороны и углы и проверь, что они дают один из признаков равенства треугольников.

Основанием называют любую сторону равнобедренного треугольника. Так происходит, если забыть, что две другие стороны равны и называются боковыми. Проверь, какие стороны равны: основание — именно третья, отличная от равных боковых сторон, сторона.

Связь с другими темами

Чтобы разбирать признаки, нужно знать определения медианы, высоты и биссектрисы, а также признаки равенства треугольников. Эти понятия позволяют перейти от условий задачи к равенствам отдельных углов и отрезков, а затем — к доказательству.

Признаки равнобедренного треугольника пригодятся в задачах, где требуется доказать равенство отрезков или углов либо распознать тип треугольника. Они также помогают обосновывать построения: можно проверить, получились ли нужные равные стороны, используя свойства углов и проведённых линий.

Что запомнить

• Равным углам треугольника противолежат равные стороны.
• Если два угла треугольника равны, треугольник равнобедренный.
• Медиана, являющаяся высотой, указывает на равенство двух сторон треугольника.
• Биссектриса, являющаяся медианой, указывает на равенство двух сторон треугольника.
• В доказательстве полезно выделять и сравнивать два треугольника.