2.3 Первый признак равенства треугольников

Определения и обозначения

Равные треугольники — треугольники, которые совпадают при наложении. При таком совмещении равны их соответствующие стороны и углы. Это определение позволяет понять, что равенство треугольников означает совпадение целых фигур, а не только отдельных элементов. Если доказано равенство треугольников, можно использовать равенство всех соответствующих сторон и углов.

Соответственные вершины — вершины, которые совмещаются при наложении равных треугольников. Например, если вершина A совпадает с A₁, то их называют соответствующими. Правильное соответствие важно при записи равенства: оно показывает, какие стороны и углы нужно сравнивать. Если перепутать вершины, запись может не соответствовать данным задачи.

Первый признак равенства треугольников утверждает: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого, то треугольники равны. Признак позволяет доказать совпадение фигур, не измеряя все их элементы. Он нужен, когда в условии или из других фактов можно получить равенство именно таких двух сторон и заключённого между ними угла.

Угол между двумя сторонами — угол, образованный этими сторонами, то есть имеющий их в качестве своих сторон. У двух сторон треугольника есть общая вершина, и угол при этой вершине является углом между ними. Угол напротив одной из данных сторон не прилежит к обеим сразу. Для первого признака это различие принципиально: нужен угол, заключённый между сравниваемыми сторонами.

Как это устроено

Представим треугольники ABC и A₁B₁C₁, в которых AB = A₁B₁, AC = A₁C₁ и ∠BAC = ∠B₁A₁C₁. Совместим вершины A и A₁, а затем направим стороны равных углов друг на друга. Поскольку углы равны, лучи AB и A₁B₁ совпадут, как и лучи AC и A₁C₁. Равенство длин сторон означает, что точки B и B₁, а также C и C₁ окажутся в одних и тех же местах.

После этого третья вершина не может перемещаться как угодно. Она должна находиться на расстоянии AB от вершины A и на расстоянии AC от неё, то есть на концах уже совмещённых сторон. Поэтому точка C второго треугольника совпадает с C первого, если соответствие установлено правильно. Иначе говоря, две длины и угол между ними задают форму треугольника однозначно. Именно этим объясняется, почему для вывода о равенстве достаточно трёх указанных элементов.

Первый признак формулируют так: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого, то треугольники равны. Слова «соответственно равны» означают, что сравниваются элементы, которые должны совпасть при наложении. Признак сразу даёт равенство целых треугольников, а не только тех двух сторон и угла, которые были указаны. После этого можно обосновать равенство остальных соответствующих сторон и углов.

Перед применением признака установи, какая вершина одного треугольника соответствует какой вершине другого. Начни с угла между известными сторонами: его вершины должны соответствовать друг другу. Затем сопоставь концы равных сторон, исходящих из этих вершин. Например, если AB = DE, AC = DF и угол между ними — ∠A и ∠D, то соответствие такое: A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F. Поэтому равенство записывают как △ABC = △DEF, а не в произвольном порядке букв.

Доказательство удобно строить от данных к выводу. Сначала выпиши пару равных сторон, затем вторую пару и равенство углов именно между этими сторонами. После этого назови первый признак равенства треугольников и запиши треугольники в порядке соответствующих вершин. Такая запись объясняет, на каких фактах основан вывод, и позволяет дальше правильно определить пары остальных равных элементов.

Первый признак равенства треугольников: условие и вывод

Пользуйся таблицей как проверкой: укажи две пары равных сторон и отдельно сравни углы при их общих вершинах. Затем проверь, что буквы в записи треугольников стоят в соответствии друг с другом. Если угол не заключён между указанными сторонами, условие признака не выполнено.

Разбор задач

Задача 1

Условие. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AB = A₁B₁, AC = A₁C₁ и ∠BAC = ∠B₁A₁C₁. Докажите, что треугольники равны. Здесь обе известные стороны сходятся в вершинах A и A₁, поэтому сравниваемые углы находятся именно между сторонами. Это позволяет применить первый признак.

1. Угол ∠BAC образован сторонами AB и AC, а ∠B₁A₁C₁ — сторонами A₁B₁ и A₁C₁. Значит, вершины A и A₁ соответствуют друг другу.
2. Из AB = A₁B₁ следует соответствие B ↔ B₁, а из AC = A₁C₁ — соответствие C ↔ C₁. Таким образом, треугольники записываем в порядке ABC и A₁B₁C₁.
3. Установлены две пары равных сторон и равенство углов между ними. По первому признаку △ABC = △A₁B₁C₁.

Ответ. △ABC = △A₁B₁C₁ по первому признаку равенства треугольников. Порядок вершин в записи следует из данных о сторонах и углах. Именно поэтому не достаточно просто написать, что треугольники равны, не проверив соответствие.

Задача 2

Условие. Точка O — середина отрезков AC и BD. Докажите, что треугольники AOB и COD равны. Середина отрезка делит его на две равные части, поэтому сразу можно получить пары равных сторон. Остаётся выяснить, какой угол находится между этими сторонами.

1. Так как O — середина AC, имеем AO = OC. Так как O — середина BD, имеем BO = OD.
2. Прямые AC и BD пересекаются в точке O. Углы ∠AOB и ∠COD — вертикальные, а вертикальные углы равны.
3. В треугольниках AOB и COD равны AO и OC, BO и OD, а также заключённые между ними углы ∠AOB и ∠COD. По первому признаку △AOB = △COD.

Ответ. △AOB = △COD. Здесь середины отрезков дали две пары равных сторон, а пересечение прямых — равные вертикальные углы между ними. Если бы угол был не между этими сторонами, первый признак применить было бы нельзя.

Задача 3

Условие. В треугольниках ABC и DEF AB = DE, AC = DF и ∠BAC = ∠EDF. Докажите равенство треугольников, а затем укажите равные стороны и углы. Сначала нужно определить соответствие, чтобы не перепутать элементы при последующем выводе. Общие вершины равных углов — A и D, поэтому они соответствуют друг другу.

1. Из AB = DE получаем соответствие B ↔ E. Из AC = DF получаем соответствие C ↔ F. Итак, A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F.
2. Даны две пары равных сторон и равные углы между ними: ∠BAC = ∠EDF. По первому признаку △ABC = △DEF.
3. Теперь переносим равенство на остальные соответствующие элементы: BC = EF, ∠ABC = ∠DEF и ∠ACB = ∠DFE. Угол при A уже был указан в условии как равный углу при D.

Ответ. △ABC = △DEF; кроме того, BC = EF, ∠ABC = ∠DEF и ∠ACB = ∠DFE. Равенства сторон и углов получены после доказательства равенства треугольников. Сверка соответствия вершин помогает не соединить элементы, занимающие разные положения.

Типичные ошибки

Первая ошибка — сравнить две стороны и угол, который не заключён между ними. Так бывает, когда ученик видит в условии две равные стороны и любой равный угол и сразу вспоминает признак. Проверь, что выбранный угол образован обеими указанными сторонами. Если он расположен напротив одной из них, первый признак применять нельзя.

Вторая ошибка — неверно сопоставить вершины и записать треугольники в неподходящем порядке. Обычно это происходит, если сравнивать буквы по их названию, а не по расположению в фигуре. Сначала найди вершины равных углов, затем проследи, какие равные стороны от них выходят. После этого проверь, совпадают ли пары сторон в записи треугольников.

Третья ошибка — считать, что подходят любые две стороны и любой один угол. Кажется, что трёх равных элементов должно быть достаточно, но их положение в треугольнике имеет значение. Сверь вершину угла с концами известных сторон: она должна быть общей для обеих. Если это не так, условие первого признака не выполнено.

Четвёртая ошибка — написать только вывод о равенстве треугольников, не указав основание. В таком решении непонятно, какие данные использованы и почему они подходят. Перед выводом выпиши две пары равных сторон и угол между ними, затем назови признак. Эта проверка показывает, что доказательство обосновано, а не просто угадано по рисунку.

Связь с другими темами

Для работы с признаком нужно знать элементы треугольника: вершины, стороны и углы, а также правильно обозначать их буквами. В задачах часто помогают свойства вертикальных углов и середины отрезка: они позволяют получить нужные равенства. Первый признак применяют, чтобы доказывать равенство других сторон и углов, а затем используют при решении новых задач. Он также подготавливает к изучению следующих признаков равенства треугольников.

Что запомнить

• Первый признак сравнивает две стороны и угол между ними.
• Угол должен быть заключён между рассматриваемыми сторонами.
• Перед применением признака установи соответствие вершин.
• При выполнении трёх условий треугольники равны.
• После доказательства равенства можно заключить о равенстве всех соответствующих сторон и углов.