15. Первый признак равенства треугольников

Определения и обозначения

Равные треугольники — это треугольники, которые при наложении полностью совпадают. Значит, равны не только их стороны, но и соответствующие углы. Это понятие нужно, чтобы одним утверждением описать совпадение сразу всех частей фигур.

Соответствующие элементы — стороны и углы, занимающие одинаковое положение в сравниваемых треугольниках. Чтобы определить соответствие вершин, сопоставь концы равных сторон и проверь, какие углы при этих вершинах равны. Так становится понятно, какие именно элементы можно сравнивать и в каком порядке записывать вершины.

Первый признак равенства треугольников — теорема: если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого, а углы между ними равны, то треугольники равны. Признак позволяет доказать совпадение фигур, не сравнивая все их стороны и углы по отдельности. Он особенно полезен, когда в условии даны две стороны и угол.

Угол между двумя сторонами образован именно этими сторонами, то есть прилежит к обеим. Например, между AB и AC находится угол BAC с вершиной A. Угол напротив одной из этих сторон не является углом между ними, поэтому для первого признака он не подходит.

Как это устроено

Сначала в двух треугольниках нужно сопоставить вершины и понять, какие стороны считаются соответствующими. Для этого удобно отталкиваться от данных в условии: равные стороны должны занимать одинаковое положение относительно равных углов. Если перепутать вершины, можно случайно сравнить стороны, которые не соответствуют друг другу. Поэтому соответствие лучше установить до применения признака.

Затем проверяют две пары соответствующих сторон. Само по себе наличие в каждом треугольнике двух сторон одинаковой длины ещё ничего не доказывает: важно, чтобы длины сравнивались между треугольниками и стороны занимали нужное положение. Если в условии сказано AB = DE и AC = DF, это означает, что сторонам AB и AC соответствуют DE и DF. От этого зависит, какой угол следует проверить дальше.

Угол должен быть заключён между выбранными сторонами, потому что именно он задаёт их взаимное направление. Когда две стороны равны и угол между ними одинаков, можно представить, что одну пару сторон совместили, а затем развернули на одинаковый угол. Концы сторон тогда окажутся в одинаковых положениях, и треугольники совпадут. Угол напротив стороны не задаёт такого расположения.

Если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого, а углы между этими сторонами равны, треугольники равны по первому признаку. В записи нужно соблюдать порядок соответствующих вершин: он показывает, какие вершины совпадают при наложении. Например, из AB = DE, AC = DF и ∠BAC = ∠EDF следует равенство треугольников ABC и DEF. Здесь вершине A соответствует D, B — E, C — F.

Равенство треугольников означает совпадение всех их соответствующих частей. Поэтому после применения признака можно заключить, что равны и остальные стороны и углы, даже если условие о них ничего не сообщало. В доказательстве сначала приводят данные равенства сторон и углов, затем называют первый признак. В заключение отдельно записывают нужное следствие, например равенство двух отрезков.

Первый признак равенства треугольников

Пользуйся таблицей как проверочным списком: найди две пары соответствующих сторон и угол между каждой парой. Убедись, что записи в столбцах относятся к соответствующим вершинам. Если все три равенства подтверждены, можно применить первый признак.

Разбор задач

Задача 1

В треугольниках ABC и DEF даны AB = DE, AC = DF, ∠BAC = ∠EDF. Докажем, что треугольники ABC и DEF равны. Сначала определим соответствие вершин по данным равенствам. Это поможет убедиться, что заданный угол заключён между нужными сторонами.

1. Из AB = DE и AC = DF следует, что сторонам AB и AC соответствуют DE и DF.
2. Углы BAC и EDF заключены между этими сторонами и равны по условию.
3. Значит, треугольники ABC и DEF равны по первому признаку.

Ответ: треугольники ABC и DEF равны. Вершины соответствуют в порядке A и D, B и E, C и F. Поэтому равны и остальные соответствующие элементы этих треугольников.

Задача 2

В равнобедренном треугольнике ABC AB = AC. На сторонах AB и AC отмечены точки D и E так, что AD = AE. Требуется доказать BE = CD. Сравним треугольники ABE и ACD, поскольку нужные отрезки BE и CD входят в эти треугольники. Угол при вершине A в обоих случаях один и тот же.

1. По условию AB = AC, а также AD = AE.
2. ∠BAE и ∠CAD — один и тот же угол при A, образованный лучами AB и AC, поэтому они равны.
3. Треугольники ABE и ACD равны по первому признаку: AB = AC, AE = AD, углы между ними равны.
4. В равных треугольниках соответствующие стороны равны, поэтому BE = CD.

Ответ: BE = CD. Здесь важно выбрать порядок вершин так, чтобы сторона BE соответствовала CD. Равенство этих отрезков следует из равенства треугольников.

Задача 3

Прямые AC и BD пересекаются в точке O. Известно, что OA = OB и OC = OD; докажем AC = BD. Для этого рассмотрим треугольники AOC и BOD. Они имеют по две равные стороны, а углы между этими сторонами расположены напротив друг друга при пересечении прямых.

1. По условию OA = OB и OC = OD.
2. Углы AOC и BOD — вертикальные, то есть образованы пересекающимися прямыми напротив друг друга; вертикальные углы равны.
3. Следовательно, треугольники AOC и BOD равны по первому признаку.
4. Стороны AC и BD соответствуют друг другу, поэтому AC = BD.

Ответ: AC = BD. Сначала признак доказывает равенство треугольников AOC и BOD, а затем из него получают равенство нужных сторон. При записи проверь, что вершина O сопоставлена сама себе, а A — B и C — D.

Типичные ошибки

Ошибка — взять угол, который не заключён между двумя известными сторонами. Такое происходит, когда ученик замечает равный угол, но не проверяет, какими сторонами он образован. Для проверки назови обе стороны, равенство которых используешь, и убедись, что угол прилежит к каждой из них. Если одна сторона лежит напротив угла, условие первого признака не выполнено.

Неверное сопоставление вершин приводит к сравнению несоответствующих сторон и углов. Часто это происходит, если ориентироваться только на порядок букв, не сверяя его с данными задачи. Проверь, какие стороны образуют каждый угол и каким равным сторонам они соответствуют. Затем запиши вершины треугольников в согласованном порядке.

Двух равных сторон и любого одного равного угла недостаточно для первого признака. Можно принять угол напротив одной из сторон за угол между сторонами, потому что оба угла относятся к известным элементам. Чтобы проверить себя, найди вершину угла: от неё должны выходить обе стороны, равенство которых используется. Если это не так, признак применять нельзя.

Нельзя сразу записывать равенство треугольников, не указав, почему выполнены условия признака. Иногда нужные равенства кажутся очевидными из рисунка, но рисунок сам по себе не заменяет доказательства. Перечисли две пары равных соответствующих сторон и равенство углов между ними, сославшись на условие или известное свойство. Только после этого назови первый признак и сформулируй вывод.

Связь с другими темами

Для работы с признаком нужно знать обозначения треугольников, отрезков и углов, а также уметь пользоваться свойством вертикальных углов. Признак опирается на понятие равных геометрических фигур: совпадающие фигуры имеют равные соответствующие элементы. Умение сопоставлять вершины помогает не путать стороны и углы в доказательствах. Позже этот способ рассуждения пригодится при изучении других признаков равенства треугольников.

Что запомнить

• Первый признак сравнивает две стороны и угол между ними.
• Стороны и угол должны быть соответствующими элементами двух треугольников.
• Угол между сторонами прилежит к обеим этим сторонам.
• При выполнении трёх условий треугольники равны.
• У равных треугольников равны все соответствующие стороны и углы.
• В доказательстве сначала устанавливают условия признака, затем делают вывод о равенстве треугольников.