§ 2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Определения и обозначения

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Например, если точка M — середина BC, то BM = MC, а AM — медиана треугольника ABC. Равенство частей стороны помогает проверить, действительно ли проведённая линия является медианой.

Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла, проведённый из его вершины до противоположной стороны. Если AD — биссектриса угла A, то она делит его на равные углы: ∠BAD = ∠DAC. Это свойство позволяет находить неизвестную часть угла, но само по себе не означает, что BD = DC.

Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Если AH — высота, то AH ⟂ BC, а у основания H отмечают прямой угол. Определение через прямую нужно, чтобы высота существовала и в тупоугольном треугольнике, где H может оказаться за пределами стороны BC.

Точка пересечения медиан — общая точка, через которую проходят все три медианы треугольника. Если медианы треугольника ABC пересекаются в точке O, значит, каждая из них проходит через O. Это свойство помогает увидеть общий порядок в чертеже и понадобится при изучении точек пересечения замечательных линий.

Как это устроено

Чтобы построить медиану из вершины A, сначала находят середину противоположной стороны BC. Обозначим её M: по определению BM = MC. Затем проводят отрезок AM, потому что именно он соединяет вершину с найденной серединой. Если выбрать на BC другую точку, отрезок из A не станет медианой, пока эта точка не будет серединой.

Биссектриса AD получается из биссектрисы угла A. Сначала представляют или строят луч, который делит угол BAC на две равные части, а затем находят его пересечение D со стороной BC. Отрезок от A до D и есть биссектриса треугольника. Она заканчивается на противоположной стороне, потому что определение относится к отрезку внутри треугольника, а не ко всему лучу.

Высоту из вершины проводят под прямым углом к противоположной стороне или к её продолжению. Перпендикулярность — главное условие: именно она отличает высоту от наклонного отрезка, который тоже может соединять вершину с противоположной стороной. В тупоугольном треугольнике прямая, содержащая нужную сторону, продолжается за её конец, и перпендикуляр из острой вершины может пересечь это продолжение. Поэтому основание высоты не всегда лежит на самой стороне.

Если из вершины A провести медиану, биссектрису и высоту, все три отрезка будут выходить из A, но их признаки различны. Для медианы проверяют, делит ли точка на противоположной стороне эту сторону на равные части. Для биссектрисы сравнивают углы, образованные отрезком, а для высоты проверяют наличие прямого угла. В общем случае эти линии идут по-разному: совпасть они могут только при дополнительных свойствах треугольника.

У каждой вершины есть своя медиана, поэтому у треугольника всего три медианы. На чертеже их проводят от всех трёх вершин к серединам противоположных сторон. Если построить все три, они пересекутся в одной точке O, а не в трёх разных местах. Для распознавания точки достаточно увидеть, что через неё проходят все три медианы; это свойство называют пересечением медиан в одной точке.

Три замечательных отрезка треугольника

Пользуйся таблицей, чтобы выбрать нужный признак, а не ориентироваться только на внешний вид отрезка. Для медианы ищи равные части стороны, для биссектрисы — равные углы, для высоты — прямой угол. Отдельно проверь, не лежит ли основание высоты на продолжении стороны.

Разбор задач

Задача 1

В треугольнике ABC точка M — середина стороны BC. Назвать отрезок AM и указать равные отрезки. Слова «M — середина» сразу сообщают о двух равных частях стороны BC. Нужно применить определение медианы, а не угадывать её по рисунку.

1. Так как M — середина BC, по определению BM = MC.
2. Отрезок AM соединяет вершину A с серединой противоположной стороны BC.
3. Следовательно, AM — медиана треугольника ABC, а равные отрезки — BM и MC.

Ответ: AM — медиана; BM = MC.

Задача 2

Из вершины A треугольника ABC проведена биссектриса AD, причём ∠BAD = 32°. Найти ∠DAC. Известно, что AD — биссектриса, поэтому она делит весь угол A на две равные части. Углы BAD и DAC как раз составляют эти части.

1. По свойству биссектрисы ∠BAD = ∠DAC.
2. Подставляем известное значение: ∠BAD = 32°.
3. Значит, ∠DAC тоже равен 32°.

Ответ: ∠DAC = 32°.

Задача 3

В тупоугольном треугольнике ABC нужно определить, где может располагаться основание высоты, проведённой из вершины острого угла, и обосновать ответ. Высота должна образовать прямой угол с прямой, на которой лежит противоположная сторона. Поэтому нельзя заранее считать, что её основание обязательно попадёт на сам отрезок стороны.

1. Пусть из острой вершины A проводится высота к прямой BC.
2. Проводим из A перпендикуляр к прямой BC и обозначаем точку пересечения H.
3. В тупоугольном треугольнике точка H может оказаться на продолжении BC, потому что перпендикуляр пересекает не сам отрезок, а прямую за его концом.

Ответ: основание высоты может лежать на продолжении противоположной стороны; условие AH ⟂ BC при этом выполняется.

Типичные ошибки

Ошибка: называть медианой любой отрезок от вершины к противоположной стороне. Так ошибаются, потому что на чертеже точка пересечения может выглядеть примерно как середина. Проверь себя: должны быть равны обе части стороны, например BM = MC. Если это не указано и не доказано, медиану распознать нельзя.

Ошибка: считать, что биссектриса делит противоположную сторону пополам. Путаница возникает из-за слова «делит»: по определению биссектриса делит пополам угол, а не сторону. Отметь на чертеже равные углы по обе стороны от неё. Не записывай равенство отрезков на стороне без отдельного основания.

Ошибка: проводить высоту только к отрезку противоположной стороны. Такое представление подходит не каждому треугольнику, потому что в тупоугольном основание перпендикуляра может попасть на продолжение стороны. Проверяй, к какой прямой проведён перпендикуляр, и отмечай прямой угол. Тогда положение основания не приведёт к ошибке.

Ошибка: путать обозначение равных углов с равенством отрезков. Это часто случается, когда на рисунке используют похожие отметки или читают условие слишком быстро. При биссектрисе равны углы, при медиане — две части противоположной стороны. Перед решением выпиши, что именно дано: равенство углов, равенство отрезков или перпендикулярность.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны определения отрезка и угла, середины отрезка, биссектрисы угла и перпендикулярных прямых. Середина позволяет распознать медиану, а биссектриса угла и перпендикулярность помогают определить два других отрезка. Если эти понятия знакомы, рисунок можно перевести в точные равенства и обозначения.

Медианы, биссектрисы и высоты понадобятся при изучении свойств треугольников, решении задач на построение и доказательство. Они помогают связывать элементы чертежа: стороны, углы и прямые углы. Позже эти отрезки позволят рассматривать точки пересечения замечательных линий треугольника.

Что запомнить

• Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны.
• Биссектриса делит угол треугольника пополам.
• Высота перпендикулярна прямой, содержащей противоположную сторону.
• У треугольника три медианы, три биссектрисы и три высоты.
• Основание высоты может находиться на продолжении стороны.
• Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.