16. Перпендикуляр к прямой

Определения и обозначения

Перпендикулярные прямые — это прямые, которые пересекаются под прямым углом, то есть под углом 90°. Записывают: a ⟂ b. Такая запись помогает быстро указать, что прямые пересекаются именно под прямым углом, а не просто встречаются в одной точке.

Перпендикуляр к прямой — отрезок, проведённый из заданной точки к данной прямой так, чтобы он образовал с ней прямой угол. Важно, что перпендикуляр здесь — отрезок, а не вся прямая. Это определение позволяет отличить его от других отрезков, соединяющих точку с прямой.

Основание перпендикуляра — точка, в которой перпендикуляр пересекает прямую. Например, если из точки M к прямой a проведён перпендикуляр MH, то H — его основание; на чертеже букву H ставят у точки пересечения. Основание нужно, чтобы обозначить место, где перпендикуляр заканчивается на прямой.

Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Например, если MH перпендикулярен a и имеет длину 3 см, расстояние от M до a равно 3 см. Так для измерения выбирают не любой отрезок, а кратчайший путь от точки до прямой.

Как это устроено

Когда две прямые перпендикулярны, их пересечение образует прямые углы. На чертеже это положение показывают маленьким квадратиком в углу: он означает 90°, даже если линии нарисованы не совсем точно. Тот же признак используют для перпендикуляра к прямой: отрезок должен пересечь прямую под прямым углом. Поэтому одного пересечения недостаточно, чтобы назвать отрезок перпендикуляром.

Чтобы провести перпендикуляр из точки к прямой, возьми чертёжный угольник. Совмести одну из сторон прямого угла угольника с прямой, затем передвигай его так, чтобы другая сторона прошла через заданную точку, и проведи по ней линию до прямой. Получившийся отрезок образует с прямой угол, потому что стороны угольника изначально перпендикулярны. Точку пересечения обозначь буквой — это основание; прямой угол можно отметить квадратиком.

Если точка находится вне прямой, из неё можно опустить на прямую перпендикуляр. Слово «опустить» означает провести отрезок от точки до прямой под прямым углом, а не обязательно нарисовать его вертикально на листе. Основание показывает, куда именно этот отрезок приходит на прямой. На чертеже его обозначают отдельной точкой, чтобы не спутать с исходной точкой вне прямой.

Из одной точки к прямой можно провести и другие отрезки: они пересекают прямую под непрямым углом и называются наклонными. Перпендикуляр короче каждой такой наклонной. Причина в том, что вместе с прямой наклонная образует прямоугольный треугольник: наклонная является его гипотенузой, а гипотенуза длиннее любого катета. Поэтому короткий путь к прямой идёт под прямым углом.

Именно поэтому расстоянием от точки до прямой считают длину перпендикуляра. Любой отрезок от точки до прямой, который не образует прямого угла, является наклонной и длиннее перпендикуляра. Если измерять такую наклонную, получится не кратчайшее расстояние, а длина выбранного пути. Перпендикуляр даёт единое и точное правило измерения.

Перпендикуляр и наклонная, проведённые из одной точки к прямой

Сначала определи угол, который отрезок образует с прямой: прямой угол указывает на перпендикуляр, другой — на наклонную. Затем найди точку пересечения отрезка с прямой; у перпендикуляра она называется основанием. Чтобы определить расстояние от точки до прямой, выбирай длину перпендикуляра, а не наклонной.

Разбор задач

Задача 1

На чертеже отметьте прямую a и точку M вне неё. Проведите из M перпендикуляр к a, обозначьте основание H и запишите, какой угол образуют MH и a. Здесь важно не просто соединить точку с прямой, а построить именно прямой угол. Для этого воспользуемся чертёжным угольником.

1. Приложим одну сторону прямого угла угольника к прямой a.
2. Передвинем угольник так, чтобы другая сторона прямого угла прошла через M, и проведём по ней линию до пересечения с a.
3. Обозначим точку пересечения буквой H, а прямой угол при ней отметим квадратиком.

Полученный отрезок MH перпендикулярен прямой a, поэтому угол между MH и a при основании H равен 90°. Квадратик на чертеже помогает проверить, что построен перпендикуляр, а H обозначает именно основание, не исходную точку M. Ответ: MH ⟂ a; угол между MH и a равен 90°.

Задача 2

Из точки A к прямой проведены перпендикуляр AB длиной 4 см и наклонная AC длиной 6 см. Нужно определить, какая длина является расстоянием от A до прямой. Не будем выбирать более длинный или короткий отрезок на глаз: сначала проверим, какой из них перпендикуляр. По условию перпендикуляром является AB.

1. Вспомним определение: расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки.
2. Найдём в условии такой отрезок: AB назван перпендикуляром, а AC — наклонной.
3. Возьмём длину AB: она равна 4 см.

Длина AC, равная 6 см, не подходит, потому что AC — наклонная. Она длиннее перпендикуляра и не измеряет кратчайшее расстояние до прямой. Ответ: расстояние от A до прямой равно 4 см.

Задача 3

Из точки P к прямой проведены перпендикуляр PH и наклонные PK и PL. Известно, что PK < PL. Сравните длины PH, PK и PL. Одного сравнения PK и PL недостаточно, чтобы определить, какая из двух наклонных длиннее по величине; оно уже дано в условии. Осталось сопоставить обе наклонные с перпендикуляром.

1. Определим вид каждого отрезка: PH — перпендикуляр, а PK и PL — наклонные, проведённые из той же точки P к той же прямой.
2. Применим свойство: перпендикуляр короче любой наклонной из этой точки к прямой. Значит, PH < PK и PH < PL.
3. Добавим данное в условии сравнение PK < PL.

Получаем порядок длин: сначала PH, затем PK, затем PL. Основания наклонных могут находиться в разных местах прямой, но свойство сравнения с перпендикуляром от этого не меняется. Ответ: PH < PK < PL.

Типичные ошибки

Первая ошибка — называть перпендикуляром любой отрезок от точки до прямой. Так происходит, если ориентироваться только на то, что отрезок соединяет точку с прямой. Проверь угол у точки пересечения: если он не равен 90°, перед тобой наклонная, а не перпендикуляр.

Вторая ошибка — путать перпендикуляр с прямой, к которой его проводят. Перпендикуляр в этой теме — отрезок от заданной точки до прямой, а данная прямая продолжается в обе стороны. Чтобы проверить себя, назови фигуру по обозначениям: например, MH — отрезок-перпендикуляр, а a — прямая.

Третья ошибка — считать основанием исходную точку, из которой проведён перпендикуляр. Она может находиться вне прямой, тогда как основание всегда лежит на прямой и является точкой пересечения. Найди конец отрезка на прямой и проверь, что именно там отмечен прямой угол.

Четвёртая ошибка — принимать длину наклонной за расстояние от точки до прямой. Наклонная тоже соединяет точку с прямой, поэтому её длина может казаться подходящей, но она не даёт кратчайший путь. Найди перпендикуляр и используй его длину; проверить выбор можно сравнением: наклонная длиннее перпендикуляра.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно знать, что такое прямой угол, и уметь пользоваться чертёжным угольником. Это помогает правильно распознавать и строить перпендикуляры, не полагаясь только на внешний вид чертежа. Если стороны на рисунке изображены неточно, ориентируйся на отметку прямого угла или условие задачи.

Перпендикуляры понадобятся при построении перпендикулярных прямых и изучении расстояний. Их свойство используется и в задачах о треугольниках: перпендикуляр вместе с прямой и наклонной образует прямоугольный треугольник. Так можно сравнивать длины и находить кратчайший отрезок от точки до прямой.

Что запомнить

• Перпендикулярные прямые пересекаются под углом 90°.
• Перпендикуляр к прямой образует с ней прямой угол.
• Основание перпендикуляра — точка его пересечения с прямой.
• Из точки вне прямой к ней можно провести перпендикуляр.
• Перпендикуляр короче любой наклонной из той же точки к прямой.
• Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра.