17. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Определения и обозначения

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Например, если M — середина BC, то AM — медиана из вершины A, а BM = MC. Чтобы определить её конец, нужно проверить именно равенство двух частей стороны, а не только то, что точка лежит на этой стороне.

Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с противоположной стороной. Если AM делит угол A на равные части, то ∠BAM = ∠MAC. Её главное назначение — разделить угол при вершине пополам; место окончания на стороне само по себе не определяет биссектрису.

Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Если из A проведена высота AH, то AH ⟂ BC или её продолжению, а H называется основанием высоты. Поэтому при проверке высоты ищут прямой угол, а не середину стороны и не равенство углов.

Как это устроено

Чтобы построить медиану из вершины A, сначала находят середину противоположной стороны BC. Для этого можно измерить BC и отложить половину длины от B или C, получив точку M. Соединение A и M даёт медиану AM, потому что её конечная точка делит BC на два равных отрезка.

Биссектриса появляется из свойства самого угла: все точки её луча одинаково «отстоят» от двух сторон угла, поэтому луч проходит ровно между ними. Если из вершины A провести такой луч до стороны BC, он пересечёт её в точке, например D, и отрезок AD будет биссектрисой. Проверка проста: нужно убедиться, что ∠BAD и ∠DAC равны.

Высота отличается от двух других отрезков главным условием — перпендикулярностью. Из вершины проводят прямую так, чтобы угол с прямой противоположной стороны был равен 90°, а затем берут отрезок до точки пересечения. Поэтому высота может не делить ни угол, ни сторону пополам: её задача — образовать прямой угол.

Расположение высот зависит от углов треугольника. В остроугольном треугольнике каждый угол меньше 90°, поэтому перпендикуляры из вершин встречают сами противоположные стороны и лежат внутри фигуры. В тупоугольном треугольнике перпендикуляр из некоторых вершин встречает не сторону, а её продолжение, поэтому соответствующая высота частично выходит за пределы треугольника.

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC боковые стороны AB и AC равны. Если AM — медиана, то BM = MC; треугольники ABM и ACM равны по трём сторонам, поэтому ∠BAM = ∠MAC, а углы AMB и AMC тоже равны. Они смежные и в сумме дают 180°, значит каждый равен 90°: AM одновременно биссектриса и высота.

Три отрезка треугольника: как различить

Пользуйтесь таблицей как проверочным алгоритмом: сначала найдите, откуда проведён отрезок, затем выясните, какое условие выполнено. Середина стороны указывает на медиану, равные части угла — на биссектрису, а прямой угол — на высоту. Один и тот же отрезок может соответствовать сразу нескольким строкам.

Разбор задач

Задача 1

В треугольнике ABC точка M — середина стороны BC. Определить, каким отрезком является AM. Условие сразу сообщает, что точка M делит противоположную сторону пополам.

1. Смотрим, из какой вершины проведён отрезок: AM выходит из A.
2. Противоположная вершине A сторона — BC.
3. По условию M — середина BC, значит BM = MC.
4. Сравниваем с определением: отрезок из вершины к середине противоположной стороны является медианой.

Ответ: AM — медиана треугольника ABC. Для вывода не требуется проверять углы или перпендикулярность.

Задача 2

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC проведена медиана AM. Найти углы BAM и MAC, если угол A равен 48°. Нужно заметить, что медиана проведена именно к основанию равнобедренного треугольника.

1. По свойству такого треугольника AM одновременно является биссектрисой угла A.
2. Значит, угол A разделён на две равные части: ∠BAM = ∠MAC.
3. Каждую часть находим делением 48° на 2: 48° : 2 = 24°.

Ответ: ∠BAM = 24°, ∠MAC = 24°. Равенство этих углов следует не из любого свойства медианы, а из того, что треугольник равнобедренный и медиана проведена к его основанию.

Задача 3

В тупоугольном треугольнике ABC угол A тупой. Построить высоту из вершины B и объяснить, на какую прямую она опущена. Поскольку высота должна быть перпендикулярна прямой AC, сначала рассматриваем именно всю прямую AC, а не только отрезок AC.

1. Продлеваем сторону AC за точку C, если это необходимо для построения.
2. Из вершины B проводим перпендикуляр к прямой AC.
3. Обозначаем точку пересечения H и получаем отрезок BH.
4. Проверяем условие: BH ⟂ AC, поэтому ∠BHA = 90° или ∠BHC = 90°.

Ответ: высота из B — BH, опущенная на прямую AC или её продолжение. В тупоугольном треугольнике основание этой высоты может находиться за пределами отрезка AC.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Медианой называют любой отрезок из вершины к противоположной стороне. Так делают, потому что забывают о втором условии определения; проверьте, равны ли два отрезка, на которые конечная точка делит сторону.

Ошибка 2. Биссектрисой считают отрезок, который делит сторону пополам. Такое деление характеризует медиану, а для биссектрисы нужно сравнить два угла при вершине; убедитесь, что они равны.

Ошибка 3. Высотой называют отрезок, перпендикулярный стороне, но проведённый не из противоположной вершины. Проверяйте сразу два признака: начало отрезка находится в вершине, а угол с прямой стороны равен 90°.

Ошибка 4. Иногда считают, что все высоты обязаны лежать внутри треугольника. Это верно для остроугольного треугольника, но в тупоугольном нужно рассматривать продолжение стороны и проверять перпендикулярность всей прямой.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны понятия середины отрезка, угла, биссектрисы угла и перпендикулярных прямых. Если эти определения знакомы, построение трёх отрезков становится последовательной проверкой их признаков.

Медианы, биссектрисы и высоты пригодятся при изучении свойств треугольников. С их помощью решают задачи на углы и стороны, доказывают равенство треугольников и анализируют расположение элементов фигуры.

Что запомнить

• Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны.
• Биссектриса делит угол при вершине на два равных угла.
• Высота проводится из вершины перпендикулярно прямой противоположной стороны.
• Высота тупоугольного треугольника может быть проведена к продолжению стороны.
• В равнобедренном треугольнике медиана к основанию одновременно является биссектрисой и высотой.