§ 3. Первый признак равенства треугольников

Определения и обозначения

Равные треугольники — треугольники, которые можно совместить наложением; их соответствующие стороны и углы равны. Представь, что один треугольник вырезали из бумаги и положили на другой: если они полностью совпали, то треугольники равны. Это определение объясняет, что значит равенство фигур, но на практике удобнее проверять его по отдельным элементам.

Соответствующие вершины и элементы — вершины, стороны и углы, которые совмещаются при наложении двух треугольников. Например, если вершина A совмещается с D, то угол A соответствует углу D, а стороны, выходящие из этих вершин, нужно сопоставлять между собой. Порядок важен, потому что от него зависит, какие именно стороны и углы объявляют равными.

Первый признак равенства треугольников утверждает: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого, то треугольники равны. Коротко условие называют «две стороны и угол между ними». Признак нужен, чтобы доказать равенство треугольников по нескольким известным элементам, не сравнивая непосредственно все стороны и углы.

Как это устроено

Сравнить две фигуры непосредственным наложением часто неудобно: треугольники могут быть начерчены в разных местах, повёрнуты или иметь разные размеры на рисунке. Поэтому вместо попытки совместить их проверяют отдельные стороны и углы, равенство которых можно обосновать. Признак превращает такую проверку в строгий способ доказательства. Если его условия соблюдены, равенство треугольников следует из геометрического построения.

Почему именно двух сторон и угла между ними достаточно? Построй угол заданной величины и отложи на его лучах два отрезка с заданными длинами. На концах этих отрезков будут две вершины будущего треугольника. Соединив их, получишь третий отрезок и единственный треугольник с такими исходными данными: длины сторон и величина угла уже зафиксированы.

Угол должен быть заключён между теми сторонами, которые сравниваются. Если строить угол между сторонами, их концы окажутся в определённом положении относительно друг друга, поэтому треугольник задаётся однозначно. Если же известен угол напротив одной из сторон, его положение относительно второй стороны не определено тем же способом. Значит, равенство двух сторон и произвольного угла ещё не даёт условия первого признака.

Когда две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответствующим элементам другого, треугольники совпадают при наложении. Поэтому равны не только использованные в доказательстве элементы, но и все остальные соответствующие стороны и углы. Например, если доказано равенство △ABC и △A₁B₁C₁, то можно заключить, что BC = B₁C₁ и равны соответствующие углы при B и C. Эти равенства выводят уже из равенства треугольников.

Чтобы не перепутать элементы, сначала сопоставь вершины, в которых находятся равные углы, а затем проверь стороны, выходящие из этих вершин. В записи △ABC = △DEF одинаковые места показывают соответствие: A соответствует D, B — E, C — F. Следовательно, AB соответствует DE, AC — DF, а BC — EF. Такая проверка порядка помогает не приписать равной стороне или углу неверную пару.

Условия и вывод первого признака равенства треугольников

Используй таблицу как проверочный список: найди две пары равных сторон и угол между ними в каждом треугольнике. Затем убедись, что сравниваемые элементы действительно соответствуют друг другу. Если условие выполнено, запиши равенство треугольников в порядке соответствующих вершин.

Разбор задач

Задача 1

В треугольниках ABC и DEF даны AB = DE, AC = DF и ∠A = ∠D. Докажем равенство треугольников. Сначала проверим, какие стороны образуют указанные углы: ∠A образован сторонами AB и AC, а ∠D — сторонами DE и DF. Значит, это углы именно между заданными равными сторонами.

1. Сопоставим вершины: A соответствует D, поскольку равны углы при этих вершинах.
2. Сторонам AB и AC соответствуют DE и DF; по условию AB = DE и AC = DF.
3. Угол между AB и AC равен углу между DE и DF: ∠A = ∠D.
4. По первому признаку равенства треугольников △ABC = △DEF.

Ответ: треугольники ABC и DEF равны. В записи порядок вершин выбран так, чтобы равным углам и сторонам соответствовали элементы, стоящие на одинаковых местах.

Задача 2

На отрезках AB и CD отмечены точки M и N так, что AM = CN и BM = DN. Требуется доказать равенство △AMC и △CNB, если ∠AMC = ∠CNB. Проверим условие признака: в треугольнике AMC угол AMC заключён между AM и MC, а в CNB угол CNB — между CN и NB. Из данных известно равенство AM = CN и равенство углов, но равенство второй пары сторон MC = NB не дано и из перечисленных условий не следует.

1. Сопоставим вершины M и N по равенству углов, а стороны AM и CN — по условию.
2. Для первого признака нужна ещё равная сторона, прилегающая к указанному углу: MC = NB.
3. Условие BM = DN сравнивает отрезки, не являющиеся сторонами названных треугольников, и само по себе равенства MC и NB не устанавливает.
4. Следовательно, применить первый признак и доказать требуемое равенство по данным условиям нельзя.

Ответ: в задаче недостаёт условия, например MC = NB; без него утверждение в общем случае не доказано. Нельзя подменять недостающую сторону равенством BM = DN, поскольку это другие отрезки.

Задача 3

Даны △ABC и △A₁B₁C₁, причём AB = A₁B₁, AC = A₁C₁ и ∠A = ∠A₁. Нужно доказать равенство треугольников, а затем установить равенство BC и B₁C₁ и соответствующих углов. Угол A заключён между AB и AC, а угол A₁ — между A₁B₁ и A₁C₁, поэтому условия первого признака подходят.

1. Установим порядок соответствия: вершина A соответствует A₁, так как равны углы при этих вершинах.
2. Сторонам AB и AC соответствуют A₁B₁ и A₁C₁; обе пары равны по условию.
3. Углы между этими сторонами равны: ∠A = ∠A₁.
4. По первому признаку △ABC = △A₁B₁C₁.
5. Из равенства треугольников заключаем: BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁ и ∠C = ∠C₁.

Ответ: треугольники равны; равны также их третьи стороны и оставшиеся соответствующие углы. Выводы о них допустимы потому, что равенство треугольников уже доказано.

Типичные ошибки

Первая ошибка — применять признак, когда равный угол не заключён между выбранными равными сторонами. Её допускают, замечая нужные равенства, но не проверяя расположение элементов. Проведи от вершины угла две стороны: обе должны входить в пару сравниваемых сторон.

Вторая ошибка — перепутать соответствующие вершины и записать треугольники в неверном порядке. Тогда можно ошибочно сопоставить, например, сторону AB со стороной DF. Чтобы проверить себя, сначала отметь равные углы, затем найди вершины и стороны, которые им соответствуют, и только после этого записывай равенство.

Третья ошибка — считать достаточными равенство двух сторон и любого угла. Так рассуждают, забывая, что положение угла влияет на форму треугольника. Проверь, что угол образован именно этими двумя сторонами; угол напротив одной из них условие признака не заменяет.

Четвёртая ошибка — сразу объявлять равными все элементы, не доказав равенство треугольников. Даже если равны некоторые стороны и угол, остальные равенства требуют обоснования. Сначала запиши применение признака, а затем сделай вывод о прочих соответствующих сторонах и углах.

Связь с другими темами

Для работы с первым признаком нужно знать, что такое треугольник, его стороны и углы, а также понимать, что означают равные геометрические фигуры. Пригодятся правила обозначения отрезков и углов: по ним можно точно указать, какие элементы сравниваются. Если эти обозначения пока вызывают затруднения, сначала сопоставь вершины на чертеже и только потом записывай равенства.

Признак помогает доказывать равенство отрезков и углов: сначала устанавливают равенство треугольников, а затем используют равенство соответствующих элементов. Он пригодится также в задачах на построение и при доказательстве свойств геометрических фигур. Поэтому важно не только запомнить условие признака, но и уметь правильно находить соответствующие элементы.

Что запомнить

• Первый признак сравнивает две стороны и угол между ними.
• Равные элементы должны соответствовать друг другу.
• Угол должен быть заключён между рассматриваемыми сторонами.
• При выполнении условия первого признака треугольники равны.
• У равных треугольников равны все соответствующие стороны и углы.
• Перед применением признака обозначь соответствие вершин.