§ 2. Вертикальные углы

Определения и обозначения

Две прямые, имеющие общую точку, называются пересекающимися. В точке пересечения у них появляется общая вершина, а вокруг неё образуются четыре угла. Это помогает рассматривать их не по отдельности, а устанавливать связи между всеми углами.

Смежные углы — это два угла с общей вершиной и общей стороной, у которых две другие стороны являются противоположными лучами. Противоположные лучи идут по одной прямой в разные стороны. Такое определение позволяет узнать смежные углы по их положению и использовать их сумму, равную 180°.

Вертикальные углы — это пара углов, стороны которых попарно являются противоположными лучами. Они лежат напротив друг друга, а общей у них остаётся только вершина. Определение нужно, чтобы отличать эту пару от соседних углов и применять правило об их равенстве.

Теорема о вертикальных углах утверждает: вертикальные углы равны. Если два угла вертикальны, то их градусные меры одинаковы, даже если заранее неизвестно, чему именно они равны. Это правило позволяет находить угол без измерений и вычислений.

Как это устроено

Представим две прямые, пересекающиеся в точке O, и обозначим их лучи A, B, C и D по порядку вокруг вершины. Тогда образуются углы AOB, BOC, COD и DOA. Угол AOB расположен напротив COD, а BOC — напротив DOA, поэтому здесь видны две пары вертикальных углов. Такое расположение возникает потому, что противоположные лучи одной прямой ограничивают углы по разные стороны от вершины.

Каждая пара несмежных углов при пересечении прямых является вертикальной. Вокруг точки расположены четыре угла, и у каждого есть два соседних угла, с которыми он имеет общую сторону. Оставшийся, несоседний угол лежит напротив него; стороны этой пары попарно принадлежат одним и тем же прямым и направлены противоположно. Значит, выполняется определение вертикальных углов.

Докажем, что вертикальные углы равны. Пусть углы AOB и COD расположены напротив, а BOC — соседний с каждым из них угол. Угол AOB и BOC смежные, поэтому их сумма равна 180°; такая же сумма получается у BOC и COD. Если из обеих сумм вычесть градусную меру BOC, останется равенство углов AOB и COD. Причина равенства — не только их положение, но и то, что каждый из них дополняет один и тот же угол до 180°.

Если известен один угол при пересечении прямых, сразу найдём расположенный напротив: он равен известному по теореме. Например, при угле 47° противоположный тоже равен 47°. Для двух соседних углов применяем свойство смежных углов и вычитаем 47° из 180°. Поэтому каждый из них равен 133°.

Чтобы найти несколько неизвестных углов, удобно сочетать два правила, а не пытаться вычислить каждый угол отдельно. Сначала вертикальному углу присваиваем ту же меру, что и известному, затем для каждого смежного используем сумму 180°. Например, если известный угол равен α, противоположный тоже равен α, а каждый соседний равен 180° − α. Проверка проста: противоположные углы должны совпасть, а каждая соседняя пара — дать в сумме 180°.

Смежные и вертикальные углы

Сначала определите положение углов и проверьте, есть ли у них общая сторона. Затем посмотрите, как направлены остальные стороны: это поможет отличить смежную пару от вертикальной. После этого выбирайте подходящее правило — равенство углов или сумму 180°.

Разбор задач

Задача 1. Две прямые пересекаются, один из углов равен 47°. Нужно найти вертикальный ему угол. Здесь не требуется искать смежные углы: вопрос касается именно пары, лежащей напротив.

1. Определяем, какой угол требуется найти: он вертикален углу 47°.
2. По теореме о вертикальных углах градусные меры этой пары равны. Следовательно, искомый угол также равен 47°.

Ответ: 47°. Проверка: вертикальные углы расположены напротив друг друга и по теореме всегда равны.

Задача 2. Один из углов при пересечении прямых равен 128°. Найдём три остальных. Сначала используем равенство для противоположной пары, а затем — сумму смежных углов.

1. Угол напротив данного вертикальный ему, поэтому он равен 128°.
2. Каждый из двух оставшихся углов смежен с данным. Его мера равна 180° − 128° = 52°.
3. Получаем все четыре угла: 128°, 52°, 128° и 52°. Проверяем: смежные углы дают 128° + 52° = 180°.

Ответ: 128°, 52° и 52°. Два соседних угла равны между собой, поскольку каждый смежен с углом 128° и дополняет его до 180°.

Задача 3. Один угол на 36° больше смежного с ним. Найдём все четыре угла. Сначала определим два соседних угла: их сумма равна 180°, а разность по условию — 36°.

1. Обозначим меньший угол за x°, тогда больший равен (x + 36)°. Составим уравнение: x + (x + 36) = 180.
2. Решаем: 2x + 36 = 180, 2x = 144, x = 72. Значит, меньший угол равен 72°, а больший — 108°.
3. Вертикальные углы равны своим противоположным: напротив 72° находится 72°, а напротив 108° — 108°. Итак, получаем 72°, 108°, 72° и 108°.

Ответ: два угла по 72° и два по 108°. Проверка: соседние углы отличаются на 36° и в сумме составляют 180°.

Типичные ошибки

Ошибка — назвать вертикальными соседние углы или, наоборот, принять смежные за расположенные напротив. Так бывает, если смотреть только на общую вершину и не учитывать расположение сторон. Проверьте: у смежных есть общая сторона, а вертикальные находятся друг напротив друга.

Иногда считают, что у вертикальных углов есть общая сторона. Это заблуждение возникает из-за того, что углы имеют одну вершину и образованы одними и теми же прямыми. У них общая только вершина, а стороны каждой пары попарно являются противоположными лучами; это можно проверить по направлению лучей.

Нельзя приравнивать смежные углы: равны вертикальные, а смежные в сумме дают 180°. Ошибку часто допускают, перенося правило о вертикальных углах на любую пару при пересечении. Для проверки выясните, расположена ли пара напротив или рядом; для смежной пары сложите меры, а не приравнивайте их.

Найти один угол и остановиться — ошибка, если в условии просят определить все углы. Обычно после нахождения вертикального ещё остаются два смежных угла. Сверьте число найденных значений с вопросом задачи и проверьте, что каждая смежная пара даёт 180°.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в теме, нужно знать, что у угла есть вершина и стороны, а также понимать, что такое противоположные лучи. Эти понятия позволяют точно распознать пары углов, образованные прямыми. Без них нельзя проверить, являются ли углы смежными или вертикальными.

Вычисления опираются на свойство смежных углов: сумма их градусных мер равна 180°. Вместе с теоремой о вертикальных углах оно позволяет найти все четыре угла при пересечении двух прямых. Эти правила пригодятся и дальше — при решении задач на углы и доказательстве свойств фигур.

Что запомнить

• Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых.
• Стороны вертикальных углов попарно являются противоположными лучами.
• Вертикальные углы равны.
• Смежные углы в сумме составляют 180°.
• При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов.
• Если известен один угол, равный ему вертикальный угол находят без вычислений.