15. Вертикальные углы

Определения и обозначения

Противоположными называют лучи, которые лежат на одной прямой, имеют общее начало и направлены в разные стороны. Вместе они образуют прямую линию. Это понятие помогает понять, какие стороны углов продолжают друг друга.

Если две прямые пересекаются, у них есть общая точка, называемая вершиной образовавшихся углов. Прямые разбивают плоскость вокруг этой точки на четыре угла. Такое расположение позволяет сравнивать углы, стоящие напротив друг друга и рядом.

Вертикальные углы — это углы, стороны одного из которых являются продолжениями сторон другого. У них общая вершина, но нет общей стороны. Определение позволяет точно распознать такую пару, даже если углы на чертеже выглядят не совсем одинаково.

Смежные углы имеют общую сторону, а две другие стороны являются противоположными лучами. Поэтому вместе они составляют развёрнутый угол, то есть их сумма равна 180°. В отличие от вертикальных, смежные углы расположены рядом, а не напротив друг друга.

Как это устроено

При пересечении двух прямых лучи каждой прямой идут от общей вершины в противоположных направлениях. Из четырёх получившихся углов вертикальными будут две пары: углы напротив друг друга. Например, если обозначить их по кругу как 1, 2, 3 и 4, вертикальными окажутся пары 1 и 3, а также 2 и 4. Их стороны попарно лежат на одних прямых и продолжают друг друга.

Чтобы доказать равенство противоположных углов, сравним их с одним соседним углом. Пусть угол 1 вертикален углу 3, а угол 2 расположен между ними. Угол 1 смежен с углом 2, потому что у них есть общая сторона, а две другие стороны — противоположные лучи. Угол 3 тоже смежен с углом 2 по той же причине.

Сумма смежных углов равна 180°, так как их внешние стороны образуют прямую, то есть развёрнутый угол. Поэтому для углов 1 и 2 можно записать: ∠1 + ∠2 = 180°. Для углов 3 и 2 получаем: ∠3 + ∠2 = 180°. Если из обеих сумм вычесть одну и ту же величину ∠2, останется ∠1 = ∠3.

Так формулируется теорема: вертикальные углы равны. Равенство следует не из того, что углы просто расположены напротив на рисунке, а из того, что каждый из них смежен с одним и тем же углом. Точно так же доказывают равенство второй пары вертикальных углов. Это свойство работает при любом положении пересекающихся прямых.

Для нахождения всех четырёх углов используют два факта: противоположные углы равны, а соседние смежные углы в сумме дают 180°. Если известный угол равен α, то угол напротив тоже равен α. Два оставшихся угла смежны с ним, поэтому каждый равен 180° − α; между собой они также равны как вертикальные. Сумма всех четырёх углов вокруг точки составляет 360°.

Сравнение вертикальных и смежных углов

Сначала проверьте, как расположены стороны пары углов: это помогает отличить вертикальные углы от смежных. Затем используйте свойство, соответствующее расположению: для вертикальных — равенство, для смежных — сумму 180°. Эти правила применяются при вычислениях и не зависят от того, насколько точно нарисаны углы.

Разбор задач

Задача 1

Две прямые пересекаются. Один из образовавшихся углов равен 48°. Найдите вертикальный ему угол. Нужно определить именно противоположный угол, а не один из двух соседних: соседние с данным углы будут смежными. Для вертикальных углов действует теорема об их равенстве.

1. Установим, что искомый угол расположен напротив данного, а его стороны продолжают стороны угла 48°.
2. Применим теорему: вертикальные углы равны.
3. Следовательно, искомый угол равен 48°.

Ответ: 48°.

Задача 2

При пересечении двух прямых один из углов равен 125°. Найдите величины остальных трёх углов. Сначала используем равенство углов напротив, затем найдём соседние углы. Такой порядок удобен, потому что вертикальный угол определяется сразу, а для смежных понадобится сумма 180°.

1. Угол, вертикальный данному, равен 125°.
2. Каждый из двух соседних углов смежен с углом 125°. Поэтому его величина равна 180° − 125° = 55°.
3. Получаем два соседних угла по 55° и противоположный угол 125°. Проверка: 125° + 55° = 180° для каждой смежной пары.

Ответ: 125°, 55° и 55°.

Задача 3

Два вертикальных угла выражаются как 3x + 10° и 5x − 30°. Найдите x и все четыре угла. Поскольку углы вертикальные, они равны, поэтому выражения для их величин можно приравнять. После вычисления проверим, что найденное значение даёт допустимые углы, а смежные с ними углы дополняют их до 180°.

1. Запишем равенство: 3x + 10 = 5x − 30.
2. Перенесём слагаемые: 40 = 2x, поэтому x = 20.
3. Подставим значение: 3 · 20 + 10 = 70°, а 5 · 20 − 30 = 70°. Это одна пара вертикальных углов.
4. Каждый соседний угол равен 180° − 70° = 110°. Два таких угла вертикальны друг другу и потому равны.

Ответ: x = 20; углы равны 70°, 110°, 70° и 110°.

Типичные ошибки

Ошибка: считать вертикальными любые углы, которые кажутся противоположными на рисунке. Одного внешнего сходства недостаточно: стороны одного угла должны быть продолжениями сторон другого. Проверьте, что каждая пара соответствующих сторон лежит на одной прямой.

Ошибка: путать вертикальные углы со смежными. Это происходит, когда смотрят только на общую вершину, которая есть у обоих видов пар. Проверьте, есть ли общая сторона: у смежных она есть, а у вертикальных стороны одного угла продолжают стороны другого.

Ошибка: утверждать, что смежные углы равны. Их сумма равна 180°, но это не значит, что каждый из них равен 90°: например, они могут составлять 40° и 140°. Перед выводом о равенстве проверьте, есть ли дополнительное условие или это вертикальные углы.

Ошибка: складывать вертикальные углы и считать, что их сумма обязательно равна 180°. Это число относится к смежным углам, тогда как вертикальные равны; например, два угла по 70° в сумме дают 140°. Уточните вид пары и при необходимости проверьте соседние углы: их сумма должна быть 180°.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны понятия угла, его вершины и сторон, а также противоположных лучей. Без них нельзя проверить, действительно ли рассматриваемые углы вертикальные или смежные. Умение находить смежный угол по сумме 180° помогает вычислять все углы при пересечении прямых. Равенство вертикальных углов пригодится в задачах на углы и при доказательстве свойств геометрических фигур.

Что запомнить

• Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых.
• Стороны одного вертикального угла являются продолжениями сторон другого.
• Вертикальные углы равны.
• Смежные углы имеют общую сторону.
• Сумма смежных углов равна 180°.
• Чтобы найти все четыре угла при пересечении прямых, используют равенство вертикальных углов и сумму смежных.